В 9Б классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек?

Давайте решим задачу: "В 9Б классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек?"

Цель — понять решение, поэтому я объясню все шаги подробно.

Шаг 1. Что требуется найти?

Нам нужно определить количество способов выбрать 5 человек из 32 учащихся. Поскольку в первом приближении порядок выбора команды не важен (команда — это группа, а не упорядоченный список), задача сводится к вычислению количества сочетаний (комбинаций).

Шаг 2. Формула сочетаний

Количество способов выбрать \(k\) человек из \(n\) — это число сочетаний, которое обозначается как \(C(n, k)\) или \(\binom{n}{k}\), и считается по формуле:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

где \(n!\) — факториал числа \(n\).

Для нашей задачи:

\[ n = 32,\quad k = 5 \]

Подставляем в формулу:

\[ \binom{32}{5} = \frac{32!}{5! \times (32 - 5)!} = \frac{32!}{5! \times 27!} \]

Шаг 3. Упрощение выражения

Чтобы вычислить \(\binom{32}{5}\), можно упростить выражение:

\[ \binom{32}{5} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Потому что при расширении факториала \(32!\):

\[ 32! = 32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27! \]

и деление на \(27!\) сокращает выражение до произведения оставшихся чисел.

Теперь считаем числитель и знаменатель:

• Числитель: \(32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28\)
• Знаменатель: \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)

Шаг 4. Вычисление числителя

Выполним умножения поэтапно:

• \(32 \times 31 = 992\)
• \(992 \times 30 = 29 760\)
• \(29 760 \times 29 = 863 040\)
• \(863 040 \times 28 = 24 165 120\)

Итак, числитель равен 24 165 120.

Шаг 5. Деление на 120

Теперь делим числитель на 120:

\[ \frac{24 165 120}{120} \]

Можно выполнить деление:

• \(120 \times 201 376 = 24 165 120\)

Как получили это число?

• \(120 \times 200 000 = 24 000 000\), осталось прибавить \(165 120\)
• \(120 \times 1 376 = 165 120\)

Итак, результат:

\[ \binom{32}{5} = 201 376 \]

Итог:

Ответ: существует 201 376 способов сформировать команду из 5 человек из 32 учащихся.

Если есть дополнительные вопросы по шагам или что-то нужно пояснить — обращайтесь!