В 9Б классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек?

Давайте решим задачу: "В 9Б классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек?" Цель — понять решение, поэтому я объясню все шаги подробно. ### Шаг 1. Что требуется найти? Нам нужно определить количество способов выбрать 5 человек из 32 учащихся. Поскольку в первом приближении порядок выбора команды не важен (команда — это группа, а не упорядоченный список), задача сводится к вычислению количества сочетаний (комбинаций). ### Шаг 2. Формула сочетаний Количество способов выбрать \(k\) человек из \(n\) — это число сочетаний, которое обозначается как \(C(n, k)\) или \(\binom{n}{k}\), и считается по формуле: \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] где \(n!\) — факториал числа \(n\). Для нашей задачи: \[ n = 32,\quad k = 5 \] Подставляем в формулу: \[ \binom{32}{5} = \frac{32!}{5! \times (32 - 5)!} = \frac{32!}{5! \times 27!} \] ### Шаг 3. Упрощение выражения Чтобы вычислить \(\binom{32}{5}\), можно упростить выражение: \[ \binom{32}{5} = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \] Потому что при расширении факториала \(32!\): \[ 32! = 32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28 \times 27! \] и деление на \(27!\) сокращает выражение до произведения оставшихся чисел. Теперь считаем числитель и знаменатель: - Числитель: \(32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28\) - Знаменатель: \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\) ### Шаг 4. Вычисление числителя Выполним умножения поэтапно: - \(32 \times 31 = 992\) - \(992 \times 30 = 29 760\) - \(29 760 \times 29 = 863 040\) - \(863 040 \times 28 = 24 165 120\) Итак, числитель равен 24 165 120. ### Шаг 5. Деление на 120 Теперь делим числитель на 120: \[ \frac{24 165 120}{120} \] Можно выполнить деление: - \(120 \times 201 376 = 24 165 120\) Как получили это число? - \(120 \times 200 000 = 24 000 000\), осталось прибавить \(165 120\) - \(120 \times 1 376 = 165 120\) Итак, результат: \[ \binom{32}{5} = 201 376 \] ### Итог: **Ответ:** существует **201 376 способов** сформировать команду из 5 человек из 32 учащихся. Если есть дополнительные вопросы по шагам или что-то нужно пояснить — обращайтесь!