( 2х^2/а^3)^4 × ( а^5/4х^4)^2 при а = 1/3 и х = - √5/6

Давайте решим задачу пошагово, объясняя каждое действие, чтобы было понятно. **Задача:** \[ \left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4 \times \left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2 \] при \(a = \frac{1}{3}\) и \(x = - \frac{\sqrt{5}}{6}\). --- ### Шаг 1: Подставим значения \(a\) и \(x\) в выражение. Используем: \[ a = \frac{1}{3} \] \[ x = - \frac{\sqrt{5}}{6} \] --- ### Шаг 2: Вычислим каждую часть отдельно. **Первая часть:** \[ \left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4 \] **Вторая часть:** \[ \left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2 \] --- ### Шаг 3: Вычислим внутренние выражения. #### 3.1. Вычислим \(x^2\): \[ x = - \frac{\sqrt{5}}{6} \] \[ x^2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{6} \right)^2 = \frac{(\sqrt{5})^2}{6^2} = \frac{5}{36} \] #### 3.2. Вычислим \(a^3\): \[ a = \frac{1}{3} \] \[ a^3 = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27} \] #### 3.3. Вычислим \(x^4\): \[ x^4 = (x^2)^2 = \left( \frac{5}{36} \right)^2 = \frac{25}{1296} \] #### 3.4. Вычислим \(a^5\): \[ a^5 = \left( \frac{1}{3} \right)^5 = \frac{1}{243} \] --- ### Шаг 4: Подставим в каждую часть. #### 4.1. Первая часть: \[ \left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4 = \left( \frac{2 \times \frac{5}{36}}{\frac{1}{27}} \right)^4 \] Вынесем в числитель и знаменатель: \[ = \left( \frac{\frac{10}{36}}{\frac{1}{27}} \right)^4 \] Деление дробей — это умножение на обратную, поэтому: \[ = \left( \frac{10}{36} \times \frac{27}{1} \right)^4 \] Упростим: \[ = \left( \frac{10 \times 27}{36} \right)^4 = \left( \frac{270}{36} \right)^4 \] Сократим \(270/36\): \[ \frac{270}{36} = \frac{270 ÷ 18}{36 ÷ 18} = \frac{15}{2} \] Итак, \[ = \left( \frac{15}{2} \right)^4 \] --- #### 4.2. Вторая часть: \[ \left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2 = \left( \frac{\frac{1}{243}}{4 \times \frac{25}{1296}} \right)^2 \] Числитель — \(\frac{1}{243}\), знаменатель — \(4 \times \frac{25}{1296}\). Вычислим знаменатель: \[ 4 \times \frac{25}{1296} = \frac{4 \times 25}{1296} = \frac{100}{1296} \] Теперь: \[ \left( \frac{\frac{1}{243}}{\frac{100}{1296}} \right)^2 \] Деление дробей: \[ = \left( \frac{1}{243} \times \frac{1296}{100} \right)^2 \] Перемножим: \[ = \left( \frac{1296}{243 \times 100} \right)^2 \] Упростим \(\frac{1296}{243}\): \[ 1296 \div 243 = 1296 \div 243 \] Разделим: \(243 \times 5 = 1215\), \(243 \times 6 = 1458\). Значит: \[ 1296 / 243 \approx 5.33, \] но лучше упростить через деление: \[ \frac{1296}{243} = \frac{1296 \div 81}{243 \div 81} = \frac{16}{3} \] **Итак:** \[ = \left( \frac{16/3}{100} \right)^2 = \left( \frac{16/3}{100/1} \right)^2 \] Деление дробей: \[ = \left( \frac{16/3 \times 1}{100} \right)^2 = \left( \frac{16}{3 \times 100} \right)^2 = \left( \frac{16}{300} \right)^2 \] Упростим: \[ \frac{16}{300} = \frac{16 \div 4}{300 \div 4} = \frac{4}{75} \] Итак: \[ = \left( \frac{4}{75} \right)^2 \] --- ### Шаг 5: Итоговое выражение. \[ \left( \frac{15}{2} \right)^4 \times \left( \frac{4}{75} \right)^2 \] Рассчитаем по частям: ### 5.1. Возводим в степень: \[ \left( \frac{15}{2} \right)^4 = \frac{15^4}{2^4} \] \[ 15^4 = (15^2)^2 = (225)^2 = 225 \times 225 = 50\,625 \] \[ 2^4 = 16 \] Итак: \[ \left( \frac{15}{2} \right)^4 = \frac{50\,625}{16} \] ### 5.2. Аналогично: \[ \left( \frac{4}{75} \right)^2 = \frac{4^2}{75^2} = \frac{16}{5625} \] ### 5.3. Перемножим: \[ \frac{50\,625}{16} \times \frac{16}{5625} \] Упростим: числитель и знаменатель \(16\) сократим: \[ = \frac{50\,625}{\cancel{16}} \times \frac{\cancel{16}}{5625} = \frac{50\,625}{5625} \] --- ### Шаг 6: Упростим деление \(\frac{50\,625}{5625}\). Делим: \[ 50\,625 \div 5625 \] Проверим, сколько раз 5625 входит в 50 625. Пример: \(5625 \times 9 = 50625\) Подтверждаем: \[ 5625 \times 9 = 50\,625 \] Значит: \[ \frac{50\,625}{5625} = 9 \] --- ### **Ответ:** **9** --- Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор каких-то шагов подробнее, скажи!