( 2х^2/а^3)^4 × ( а^5/4х^4)^2 при а = 1/3 и х = - √5/6
Давайте решим задачу пошагово, объясняя каждое действие, чтобы было понятно.
Задача:
\[ \left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4 \times \left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2 \]
при \(a = \frac{1}{3}\) и \(x = - \frac{\sqrt{5}}{6}\).
Шаг 1: Подставим значения \(a\) и \(x\) в выражение.
Используем:
\[ a = \frac{1}{3} \] \[ x = - \frac{\sqrt{5}}{6} \]
Шаг 2: Вычислим каждую часть отдельно.
Первая часть:
\[ \left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4 \]
Вторая часть:
\[ \left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2 \]
Шаг 3: Вычислим внутренние выражения.
3.1. Вычислим \(x^2\):
\[ x = - \frac{\sqrt{5}}{6} \] \[ x^2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{6} \right)^2 = \frac{(\sqrt{5})^2}{6^2} = \frac{5}{36} \]
3.2. Вычислим \(a^3\):
\[ a = \frac{1}{3} \] \[ a^3 = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27} \]
3.3. Вычислим \(x^4\):
\[ x^4 = (x^2)^2 = \left( \frac{5}{36} \right)^2 = \frac{25}{1296} \]
3.4. Вычислим \(a^5\):
\[ a^5 = \left( \frac{1}{3} \right)^5 = \frac{1}{243} \]
Шаг 4: Подставим в каждую часть.
4.1. Первая часть:
\[ \left( \frac{2x^2}{a^3} \right)^4 = \left( \frac{2 \times \frac{5}{36}}{\frac{1}{27}} \right)^4 \]
Вынесем в числитель и знаменатель:
\[ = \left( \frac{\frac{10}{36}}{\frac{1}{27}} \right)^4 \]
Деление дробей — это умножение на обратную, поэтому:
\[ = \left( \frac{10}{36} \times \frac{27}{1} \right)^4 \]
Упростим:
\[ = \left( \frac{10 \times 27}{36} \right)^4 = \left( \frac{270}{36} \right)^4 \]
Сократим \(270/36\):
\[ \frac{270}{36} = \frac{270 ÷ 18}{36 ÷ 18} = \frac{15}{2} \]
Итак,
\[ = \left( \frac{15}{2} \right)^4 \]
4.2. Вторая часть:
\[ \left( \frac{a^5}{4x^4} \right)^2 = \left( \frac{\frac{1}{243}}{4 \times \frac{25}{1296}} \right)^2 \]
Числитель — \(\frac{1}{243}\), знаменатель — \(4 \times \frac{25}{1296}\).
Вычислим знаменатель:
\[ 4 \times \frac{25}{1296} = \frac{4 \times 25}{1296} = \frac{100}{1296} \]
Теперь:
\[ \left( \frac{\frac{1}{243}}{\frac{100}{1296}} \right)^2 \]
Деление дробей:
\[ = \left( \frac{1}{243} \times \frac{1296}{100} \right)^2 \]
Перемножим:
\[ = \left( \frac{1296}{243 \times 100} \right)^2 \]
Упростим \(\frac{1296}{243}\):
\[ 1296 \div 243 = 1296 \div 243 \]
Разделим: \(243 \times 5 = 1215\), \(243 \times 6 = 1458\). Значит:
\[ 1296 / 243 \approx 5.33, \] но лучше упростить через деление:
\[ \frac{1296}{243} = \frac{1296 \div 81}{243 \div 81} = \frac{16}{3} \]
Итак:
\[ = \left( \frac{16/3}{100} \right)^2 = \left( \frac{16/3}{100/1} \right)^2 \]
Деление дробей:
\[ = \left( \frac{16/3 \times 1}{100} \right)^2 = \left( \frac{16}{3 \times 100} \right)^2 = \left( \frac{16}{300} \right)^2 \]
Упростим:
\[ \frac{16}{300} = \frac{16 \div 4}{300 \div 4} = \frac{4}{75} \]
Итак:
\[ = \left( \frac{4}{75} \right)^2 \]
Шаг 5: Итоговое выражение.
\[ \left( \frac{15}{2} \right)^4 \times \left( \frac{4}{75} \right)^2 \]
Рассчитаем по частям:
5.1. Возводим в степень:
\[ \left( \frac{15}{2} \right)^4 = \frac{15^4}{2^4} \] \[ 15^4 = (15^2)^2 = (225)^2 = 225 \times 225 = 50\,625 \] \[ 2^4 = 16 \]
Итак:
\[ \left( \frac{15}{2} \right)^4 = \frac{50\,625}{16} \]
5.2. Аналогично:
\[ \left( \frac{4}{75} \right)^2 = \frac{4^2}{75^2} = \frac{16}{5625} \]
5.3. Перемножим:
\[ \frac{50\,625}{16} \times \frac{16}{5625} \]
Упростим: числитель и знаменатель \(16\) сократим:
\[ = \frac{50\,625}{\cancel{16}} \times \frac{\cancel{16}}{5625} = \frac{50\,625}{5625} \]
Шаг 6: Упростим деление \(\frac{50\,625}{5625}\).
Делим:
\[ 50\,625 \div 5625 \]
Проверим, сколько раз 5625 входит в 50 625.
Пример: \(5625 \times 9 = 50625\)
Подтверждаем:
\[ 5625 \times 9 = 50\,625 \]
Значит:
\[ \frac{50\,625}{5625} = 9 \]
Ответ: 9
Если есть дополнительные вопросы или нужен разбор каких-то шагов подробнее, скажи!
