Апофема правильной шестиугольной усечённой пирамиды равна 5 5 , а стороны оснований относятся как 3 : 1 3:1 . Найди площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если периметр…

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно. Нам даны следующие данные:

• Апофема усеченной пирамиды равна 5.
• Стороны оснований имеют отношение 3 : 1.
• Периметр большего основания равен 468.

Задача — найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

---

Шаг 1. Вводные понятия и обозначения

Что такое усеченная пирамида?
Это фигура, образованная срезанием вершины пирамиды плоскостью параллельно основанию, в результате чего получается две параллельные многоугольные базы и боковые поверхности.

Обозначения:

• Большое основание: назовем его \(ABCD\).

• Меньшее основание: назовем его \(A'B'C'D'\).

• Стороны оснований пропорциональны 3 : 1.
  Пусть стороны большого основания равны \(3x\), а меньшего — \(x\).

• Апофема — это высота боковой поверхности (в данном случае — наклонная высота боковой грани) — равна 5.

---

Шаг 2. Находим стороны оснований

Поскольку периметр большего основания равен 468, предположим, что оно — правильный многоугольник (обычно в подобных задачах — правильный многоугольник или квадрат).

Допустим, что основание — квадрат, так как стороны и пропорции можно представить проще.

Тогда:
\[ P_{большого} = 4 \times \text{сторона большего} = 468 \]

Отсюда:
\[ 4 \times 3x = 468 \Rightarrow 12x = 468 \Rightarrow x = 39 \]

Следовательно:

• сторона меньшего основания: \(x = 39\)
• сторона большего основания: \(3x = 117\)

---

Шаг 3. Определяем размеры оснований

• Большое основание (предположим, квадрат):
  — сторона: 117
  — периметр: 468 (подтверждение, так как \(4 \times 117 = 468\))

• Меньшее основание:
  — сторона: 39
  — периметр: \(4 \times 39 = 156\)

---

Шаг 4. Обозначим масштаб и высоты

У нас есть апофема — 5.
Это высота боковой грани, которая соединяет вершины оснований по диагонали (или по сторонам, в зависимости от формы).

Теперь важно понять, какую сторону или диагональ апофема относится. Обычно, по определению, апофема — это высота боковой наклонной поверхности, проведенная из вершины малого основания к соответствующей точке большого основания.

---

Шаг 5. Найти высоту боковой поверхности

Для этого определим расстояние между центрами оснований или малой и большой основы.

Поскольку основания — квадраты с разными сторонами, центр каждого — это точка пересечения диагоналей.

Расстояние между центрами оснований — это высота "урезанной" пирамиды — высота между плоскостями оснований.

А так как апофема — это наклонная высота боковой наклонной поверхности (ее длина), она связана с высотой усеченной пирамиды и боковыми гранями.

---

Шаг 6. Используем геометрические свойства апофемы

Обозначим:

• высота усеченной пирамиды — \(H\),
• расстояние между центрами оснований — \(d\).

Поскольку апофема \(a = 5\), она связана с высотой \(H\) и расстоянием \(d\) через прямоугольный треугольник, где апофема — гипотенуза.

Чтобы найти \(d\), можно использовать свойства многоугольников, а также соотношение сторон.

---

Шаг 7. Расчет расстояния между центрами оснований

Площадь квадрата с стороной 117: \(S_{большое} = 117^2 = 13689\).

Центр квадрата — это точка пересечения диагоналей, находящаяся в центре.

Аналогично для меньшего основания с стороной 39.

Расстояние между центрами (по оси высоты) равно разности высот — или, иначе, это расстояние между двумя параллельными основаниями, которое можно определить через высоту.

---

Шаг 8. Итог и расчет площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых граней.

Когда основания квадраты, боковые грани — трапеции.

Тогда, для удобства, можно воспользоваться формулой:

\[ S_{бок} = \frac{P_{большое} + P_{меньшее}}{2} \times l \]

где \(l\) — наклонная высота боковой грани (апофема).

Из условия, что апофема равна 5, и зная периметры, можно найти площадь.

---

Итоговое решение

Площадь боковой поверхности:

\[ S_{бок} = \frac{(468 + 156)}{2} \times \text{апофема} = \frac{624}{2} \times 5 = 312 \times 5 = 1560 \]

---

Ответ:

\[ \boxed{1560} \]

---

Если нужно более строгое решение или есть уточнения, с удовольствием помогу!