Апофема правильной шестиугольной усечённой пирамиды равна  5 5, а стороны оснований относятся как  3 : 1 3:1. Найди площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если периметр большего основания равен  468.

Давайте разберемся с задачей пошагово и подробно. Нам даны следующие данные: - Апофема усеченной пирамиды равна 5. - Стороны оснований имеют отношение 3 : 1. - Периметр большего основания равен 468. Задача — найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. --- ### Шаг 1. Вводные понятия и обозначения **Что такое усеченная пирамида?** Это фигура, образованная срезанием вершины пирамиды плоскостью параллельно основанию, в результате чего получается две параллельные многоугольные базы и боковые поверхности. **Обозначения:** - Большое основание: назовем его \(ABCD\). - Меньшее основание: назовем его \(A'B'C'D'\). - Стороны оснований пропорциональны 3 : 1. Пусть стороны большого основания равны \(3x\), а меньшего — \(x\). - Апофема — это высота боковой поверхности (в данном случае — наклонная высота боковой грани) — равна 5. --- ### Шаг 2. Находим стороны оснований Поскольку периметр большего основания равен 468, предположим, что оно — правильный многоугольник (обычно в подобных задачах — правильный многоугольник или квадрат). **Допустим, что основание — квадрат,** так как стороны и пропорции можно представить проще. Тогда: \[ P_{большого} = 4 \times \text{сторона большего} = 468 \] Отсюда: \[ 4 \times 3x = 468 \Rightarrow 12x = 468 \Rightarrow x = 39 \] **Следовательно:** - сторона меньшего основания: \(x = 39\) - сторона большего основания: \(3x = 117\) --- ### Шаг 3. Определяем размеры оснований - Большое основание (предположим, квадрат): — сторона: 117 — периметр: 468 (подтверждение, так как \(4 \times 117 = 468\)) - Меньшее основание: — сторона: 39 — периметр: \(4 \times 39 = 156\) --- ### Шаг 4. Обозначим масштаб и высоты У нас есть апофема — 5. Это высота боковой грани, которая соединяет вершины оснований по диагонали (или по сторонам, в зависимости от формы). Теперь важно понять, какую сторону или диагональ апофема относится. Обычно, по определению, апофема — это высота боковой наклонной поверхности, проведенная из вершины малого основания к соответствующей точке большого основания. --- ### Шаг 5. Найти высоту боковой поверхности Для этого определим расстояние между центрами оснований или малой и большой основы. Поскольку основания — квадраты с разными сторонами, центр каждого — это точка пересечения диагоналей. Расстояние между центрами оснований — это высота "урезанной" пирамиды — высота между плоскостями оснований. А так как апофема — это наклонная высота боковой наклонной поверхности (ее длина), она связана с высотой усеченной пирамиды и боковыми гранями. --- ### Шаг 6. Используем геометрические свойства апофемы Обозначим: - высота усеченной пирамиды — \(H\), - расстояние между центрами оснований — \(d\). Поскольку апофема \(a = 5\), она связана с высотой \(H\) и расстоянием \(d\) через прямоугольный треугольник, где апофема — гипотенуза. Чтобы найти \(d\), можно использовать свойства многоугольников, а также соотношение сторон. --- ### Шаг 7. Расчет расстояния между центрами оснований Площадь квадрата с стороной 117: \(S_{большое} = 117^2 = 13689\). Центр квадрата — это точка пересечения диагоналей, находящаяся в центре. Аналогично для меньшего основания с стороной 39. Расстояние между центрами (по оси высоты) равно разности высот — или, иначе, это расстояние между двумя параллельными основаниями, которое можно определить через высоту. --- ### Шаг 8. Итог и расчет площади боковой поверхности Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей боковых граней. Когда основания квадраты, боковые грани — трапеции. Тогда, для удобства, можно воспользоваться формулой: \[ S_{бок} = \frac{P_{большое} + P_{меньшее}}{2} \times l \] где \(l\) — наклонная высота боковой грани (апофема). Из условия, что апофема равна 5, и зная периметры, можно найти площадь. --- ### Итоговое решение **Площадь боковой поверхности:** \[ S_{бок} = \frac{(468 + 156)}{2} \times \text{апофема} = \frac{624}{2} \times 5 = 312 \times 5 = 1560 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{1560} \] --- Если нужно более строгое решение или есть уточнения, с удовольствием помогу!