Проводится серия из 30 30 испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0 , 6 0,6 . Чему равны математическое ожидание M ( S ) M(S) и дисперсия D ( S ) D(S) ?

Давайте решим задачу по шагам, объясняя каждое понятие и вычисления.

Задача:
Проводится серия из 30 независимых испытаний Бернулли, каждое с вероятностью успеха p = 0,6. Найти:

• Математическое ожидание суммы успехов \( M(S) \).
• Дисперсию суммы успехов \( D(S) \).

1. Введение в задачи

Испытание Бернулли:
Это эксперимент, который может закончиться успехом с вероятностью p или неуспехом с вероятностью 1 - p.
Обозначим успех за 1, неуспех — за 0.

Сумма успехов:
Обозначим сумму успехов за \( S \), это — число успешных испытаний из 30.

2. Обозначения и свойства

• Каждое отдельное испытание — случайная величина \( X_i \),
  где \( X_i = 1 \) с вероятностью 0.6 и \( X_i = 0 \) с вероятностью 0.4.
• Она имеет распределение Бернулли:
  \[ P(X_i=1) = p = 0.6, \quad P(X_i=0) = 1 - p = 0.4. \]
• Общее число успехов в серии из 30 испытаний:
  \[ S = X_1 + X_2 + \ldots + X_{30}. \]

3. Математическое ожидание \( M(S) \)

Для одной испытания: \[ M(X_i) = E[X_i] = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p = 0.6. \]

Для суммы независимых одинаково распределённых: \[ M(S) = M(X_1 + X_2 + \ldots + X_{30}) = 30 \times M(X_i) = 30 \times 0.6 = 18. \]

Ответ:
\[ \boxed{ M(S) = 18 } \]

4. Дисперсия \( D(S) \)

Дисперсия одного испытания: \[ D(X_i) = p(1 - p) = 0.6 \times 0.4 = 0.24. \]

Для суммы независимых одинаково распределённых: \[ D(S) = D(X_1 + X_2 + \ldots + X_{30}) = 30 \times D(X_i) = 30 \times 0.24 = 7.2. \]

Ответ:
\[ \boxed{ D(S) = 7.2 } \]

Итоговые ответы:

Если есть вопросы — спрашивайте!