Давайте решим задачу по шагам, объясняя каждое понятие и вычисления.
Задача:
Проводится серия из 30 независимых испытаний Бернулли, каждое с вероятностью успеха p = 0,6. Найти:
- Математическое ожидание суммы успехов ( M(S) ).
- Дисперсию суммы успехов ( D(S) ).
1. Введение в задачи
Испытание Бернулли:
Это эксперимент, который может закончиться успехом с вероятностью p или неуспехом с вероятностью 1 - p.
Обозначим успех за 1, неуспех — за 0.
Сумма успехов:
Обозначим сумму успехов за ( S ), это — число успешных испытаний из 30.
2. Обозначения и свойства
- Каждое отдельное испытание — случайная величина ( X_i ),
где ( X_i = 1 ) с вероятностью 0.6 и ( X_i = 0 ) с вероятностью 0.4.
- Она имеет распределение Бернулли:
[
P(X_i=1) = p = 0.6, \quad P(X_i=0) = 1 - p = 0.4.
]
- Общее число успехов в серии из 30 испытаний:
[
S = X_1 + X_2 + \ldots + X_{30}.
]
3. Математическое ожидание ( M(S) )
Для одной испытания:
[
M(X_i) = E[X_i] = 1 \times p + 0 \times (1 - p) = p = 0.6.
]
Для суммы независимых одинаково распределённых:
[
M(S) = M(X_1 + X_2 + \ldots + X_{30}) = 30 \times M(X_i) = 30 \times 0.6 = 18.
]
Ответ:
[
\boxed{ M(S) = 18 }
]
4. Дисперсия ( D(S) )
Дисперсия одного испытания:
[
D(X_i) = p(1 - p) = 0.6 \times 0.4 = 0.24.
]
Для суммы независимых одинаково распределённых:
[
D(S) = D(X_1 + X_2 + \ldots + X_{30}) = 30 \times D(X_i) = 30 \times 0.24 = 7.2.
]
Ответ:
[
\boxed{ D(S) = 7.2 }
]
Итоговые ответы:
| Параметр |
Значение |
| Математическое ожидание ( M(S) ) |
18 |
| Дисперсия ( D(S) ) |
7.2 |
Если есть вопросы — спрашивайте!
