В группе из шести человек отличника. Наугад выбрали двух человек. Составить закон распределения случайной величины Х число отличников среди выбранных.
Рассмотрим задачу: в группе 6 человек, из которых 1 — отличник, а остальные 5 — нет. Мы выбираем наугад 2 человека. Требуется определить закон распределения случайной величины \( X \) — число отличников среди выбранных.
Шаг 1: возможные значения \( X \)
Поскольку всего один отличник, то:
- либо среди выбранных двух человек есть этот единственный отличник, тогда \( X = 1 \),
- либо у выбранных двух нет ни одного отличника, тогда \( X = 0 \).
То есть: \[ X \in \{0, 1\} \]
Шаг 2: подсчёт вероятностей для каждого значения \( X \)
Общий объём выборки — количество способов выбрать 2 человека из 6: \[ C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15 \]
Шаг 3: вероятность \( P(X = 0) \)
Чтобы \( X=0 \), оба выбранных человека должны быть не отличниками. Их всего 5 человек (не отличники), тогда число способов выбрать двоих из них: \[ C_5^2 = 10 \]
Общая вероятность: \[ P(X=0) = \frac{C_5^2}{C_6^2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \]
Шаг 4: вероятность \( P(X = 1) \)
Чтобы \( X=1 \), выбран должен быть именно один отличник и один не отличник.
Число способов выбрать 1 отличника из 1 (единственного), и 1 не отличника из 5: \[ C_1^1 \times C_5^1 = 1 \times 5 = 5 \]
Общая вероятность: \[ P(X=1) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \]
Итог — закон распределения
\[ \boxed{ \begin{aligned} & P(X=0) = \frac{2}{3} \\ & P(X=1) = \frac{1}{3} \end{aligned} } \]
Резюме:
- Вероятность того, что среди выбранных двух человек нет отличника, равна \( \frac{2}{3} \).
- Вероятность, что один отличник выбран, равна \( \frac{1}{3} \).
Если нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!
