Рассмотрим задачу: в группе 6 человек, из которых 1 — отличник, а остальные 5 — нет. Мы выбираем наугад 2 человека. Требуется определить закон распределения случайной величины ( X ) — число отличников среди выбранных.
Шаг 1: возможные значения ( X )
Поскольку всего один отличник, то:
- либо среди выбранных двух человек есть этот единственный отличник, тогда ( X = 1 ),
- либо у выбранных двух нет ни одного отличника, тогда ( X = 0 ).
То есть:
[
X \in {0, 1}
]
Шаг 2: подсчёт вероятностей для каждого значения ( X )
Общий объём выборки — количество способов выбрать 2 человека из 6:
[
C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = 15
]
Шаг 3: вероятность ( P(X = 0) )
Чтобы ( X=0 ), оба выбранных человека должны быть не отличниками. Их всего 5 человек (не отличники), тогда число способов выбрать двоих из них:
[
C_5^2 = 10
]
Общая вероятность:
[
P(X=0) = \frac{C_5^2}{C_6^2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
]
Шаг 4: вероятность ( P(X = 1) )
Чтобы ( X=1 ), выбран должен быть именно один отличник и один не отличник.
Число способов выбрать 1 отличника из 1 (единственного), и 1 не отличника из 5:
[
C_1^1 \times C_5^1 = 1 \times 5 = 5
]
Общая вероятность:
[
P(X=1) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}
]
Итог — закон распределения
[
\boxed{
\begin{aligned}
& P(X=0) = \frac{2}{3} \
& P(X=1) = \frac{1}{3}
\end{aligned}
}
]
Резюме:
- Вероятность того, что среди выбранных двух человек нет отличника, равна ( \frac{2}{3} ).
- Вероятность, что один отличник выбран, равна ( \frac{1}{3} ).
Если нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!
