Давайте решим задачу пошагово.
Задача:
Найти вероятность того, что в случайно выбранном семизначном номере последние пять цифр — одна семерка и четыре восьмерки (в любых позициях).
1. Общее число вариантов для последних 5 цифр
Поскольку номер семизначный, то:
- Первые 2 цифры могут быть любыми (от 0 до 9).
- Последние 5 цифр — специальная комбинация из 1 семёрки и 4 восьмёрок в произвольном порядке.
Общее число всех возможных 5-значных последовательностей:
Это все возможные сочетания цифр от 0 до 9, то есть
[
10^5 = 100000
]
2. Число подходящих вариантов для последних 5 цифр
Нам нужны такие последовательности, в которых:
- ровно 1 цифра — 7,
- 4 цифры — 8,
расположенных в любом порядке.
Число таких вариантов:
Количество способов выбрать позицию для семёрки среди 5 цифр:
[
\binom{5}{1} = 5
]
После этого оставшиеся 4 позиции заполняются восьмёрками:
только один способ — все 4 восьмёрки.
ИТОГ: число подходящих вариантов для последних 5 цифр:
[
\boxed{5}
]
3. Общее число вариантов для первых 2 цифр
Первые 2 цифры могут быть любыми цифрами от 0 до 9:
[
10 \times 10 = 100
]
4. Итоговое число допустимых номеров
Общее количество номеров, соответствующих условию:
[
\text{Всего} = \text{число вариантов первых двух цифр} \times \text{число подходящих последних 5 цифр} = 100 \times 5 = 500
]
5. Общее число всех семизначных номеров
Всего семизначных номеров (от 1 000 000 до 9 999 999):
[
9 \times 10^6 = 9 000 000
]
(так как первый разряд не может быть нулём).
6. Вычисление вероятности
Вероятность события:
[
\text{P} = \frac{\text{число подходящих номеров}}{\text{общее число возможных номеров}} = \frac{500}{9 000 000}
]
Упростим дробь:
[
\frac{500}{9 000 000} = \frac{1}{18000}
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Вероятность} = \frac{1}{18000}
}
]
Это очень малая вероятность, примерно 0.0000555 или 0.00555%.
