Для решения этой задачи удобно использовать модель Пуассона (Poisson distribution), которая применяется для событий с небольшой вероятностью, происходящих независимо друг от друга в большом количестве.
Дано:
- Вероятность брака одного транзистора: ( p = 0,05 ) (около 5%)
- Предположим, что всего произведено ( n ) транзисторов.
- В задаче не указано конкретное количество транзисторов, поэтому давайте обозначим его как ( n ).
Постановка задачи:
Нам нужно найти вероятность того, что из ( n ) транзисторов не более одного оказались бракованными, то есть
[ P(X \leq 1) ]
где ( X ) — число бракованных транзисторов.
Когда подходит модель Пуассона:
Если ( n ) очень большое, а ( p ) маленькое, тогда
[ \lambda = n \times p ]
и ( X \sim \text{Poisson}(\lambda) ).
Формула вероятности в модели Пуассона:
[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots ]
Итак,
[ P(\text{не более одного бракованного}) = P(X=0) + P(X=1) ]
подставляем:
[ P(X=0) = \frac{\lambda^0 e^{-\lambda}}{0!} = e^{-\lambda} ]
[ P(X=1) = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda} ]
Итоговое выражение:
[ P(X \leq 1) = e^{-\lambda} + \lambda e^{-\lambda} = e^{-\lambda} (1 + \lambda) ]
Пример (если известно ( n )):
Если, например, ( n=1000 ):
[ \lambda = 1000 \times 0,05 = 50 ]
Тогда:
[ P(X \leq 1) = e^{-50}(1 + 50) ]
Это очень маленькое число, так как ( e^{-50} ) очень близко к нулю. Поэтому вероятность того, что не более одного транзистора бракован — практически ноль.
Итог:
Общая формула вероятности:
[
\boxed{
P(\text{не более одного бракованного}) = e^{-\lambda} (1 + \lambda), \quad \text{где} \quad \lambda = n \times p
}
]
Если у вас есть конкретное число произведённых транзисторов, я помогу с подсчётом!
