Давайте подробно разберём задачу: у нас есть равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см, и внутри него вписана окружность. Нужно найти радиус вписанной окружности.
Шаг 1. Обозначим обозначения
Пусть:
- ( AB = AC ) — боковые стороны равнобедренного треугольника.
- ( BC = 12 ) см — основание.
- ( P = 32 ) см — периметр.
Обозначим:
Шаг 2. Найдём боковые стороны
Периметр равен сумме всех сторон:
[
AB + AC + BC = 32 \text{ см}
]
Так как ( AB = AC = x ), то:
[
x + x + 12 = 32
]
[
2x + 12 = 32
]
[
2x = 20
]
[
x = 10 \text{ см}
]
Итак, боковые стороны равны 10 см.
Шаг 3. Найдём высоту треугольника (для вычисления радиуса окружности)
Обозначим вершину треугольника противоположную основанию ( BC ) — это вершина ( A ). В равнобедренном треугольнике высота из вершины ( A ) делит основание ( BC ) пополам:
[
BD = DC = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}
]
Высота ( h ) — это перпендикуляр из ( A ) к ( BC ). Используем теорему Пифагора для треугольника ( ABD ):
[
AB^2 = AD^2 + BD^2
]
[
10^2 = h^2 + 6^2
]
[
100 = h^2 + 36
]
[
h^2 = 64
]
[
h = 8 \text{ см}
]
Шаг 4. Найдём площадь треугольника
Площадь ( S ) равна:
[
S = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48 \text{ см}^2
]
Шаг 5. Найдём радиус вписанной окружности ( r )
Формула радиуса вписанной окружности для произвольного треугольника:
[
r = \frac{S}{p}
]
где ( S ) — площадь треугольника, а ( p ) — полупериметр:
[
p = \frac{P}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}
]
Следовательно,
[
r = \frac{48}{16} = 3 \text{ см}
]
Итог
Радиус вписанной окружности равен 3 см.
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение подробнее — скажите!
