2. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми?

Рассмотрим задачу подробно. Дано: монету бросают 3 раза. Пути событий: - А: «В первый раз выпал орёл» - В: «Решка выпала дважды» в течение всех трёх бросков. **Шаг 1. Определим вероятности событий** Обозначим исходы бросков как последовательности из трёх символов, где орёл — О, решка — Р. Всего возможных исходов: \(2^3 = 8\). Перечислим все исходы: 1. О О О 2. О О Р 3. О Р О 4. О Р Р 5. Р О О 6. Р О Р 7. Р Р О 8. Р Р Р **Шаг 2. Находим вероятность события А «В первый раз выпал орёл»** Это событие означает, что первый бросок — орёл, а остальные два могут быть любыми. Из этого списка исходов: - № 1: О О О — первый бросок орёл - № 2: О О Р — первый бросок орёл - № 3: О Р О — первый бросок орёл - № 4: О Р Р — первый бросок орёл Только в первом четырёх случаях первый бросок — орёл. Вероятность события А: \[ P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] **Шаг 3. Находим вероятность события В «Решка выпала дважды»** Это означает, что из трёх бросков ровно два — Р. Посмотрим, какие исходы соответствуют этому: - № 4: О Р Р — две решки - № 6: Р О Р — две решки - № 7: Р Р О — две решки Всего 3 исхода. Вероятность события В: \[ P(B) = \frac{3}{8} \] **Шаг 4. Определяем пересечение событий \(A \cap B\)** Это значит, чтобы одновременно было: - Первый бросок — орёл (А) - Ровно две решки в трёх бросках (В) Ключевое: первый бросок — орёл, а всего две решки. Значит, среди остальных двух бросков должно быть ровно одна решка. Посмотрим исходы, где первый бросок — О: - № 1: О О О — не подходит, так как решек 0 - № 2: О О Р — решек один, подходит - № 3: О Р О — решек один, подходит - № 4: О Р Р — решек две, не подходит Следовательно, исходы, входящие в \(A \cap B\): - № 2: О О Р - № 3: О Р О Вероятность их совместного возникновения: \[ P(A \cap B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] **Шаг 5. Проверяем независимость событий** Два события А и В — независимы, если: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Подставим значения: \[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] А мы нашли: \[ P(A \cap B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = \frac{4}{16} \] Поскольку: \[ \frac{1}{4} \neq \frac{3}{16} \] следовательно, **события не являются независимыми**. --- ### Итог: **Ответ:** События «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды» — **не являются независимыми**.