2. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми?
Рассмотрим задачу подробно.
Дано: монету бросают 3 раза. Пути событий:
- А: «В первый раз выпал орёл»
- В: «Решка выпала дважды» в течение всех трёх бросков.
Шаг 1. Определим вероятности событий
Обозначим исходы бросков как последовательности из трёх символов, где орёл — О, решка — Р.
Всего возможных исходов: \(2^3 = 8\).
Перечислим все исходы:
- О О О
- О О Р
- О Р О
- О Р Р
- Р О О
- Р О Р
- Р Р О
- Р Р Р
Шаг 2. Находим вероятность события А «В первый раз выпал орёл»
Это событие означает, что первый бросок — орёл, а остальные два могут быть любыми.
Из этого списка исходов:
- № 1: О О О — первый бросок орёл
- № 2: О О Р — первый бросок орёл
- № 3: О Р О — первый бросок орёл
- № 4: О Р Р — первый бросок орёл
Только в первом четырёх случаях первый бросок — орёл.
Вероятность события А:
\[ P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Шаг 3. Находим вероятность события В «Решка выпала дважды»
Это означает, что из трёх бросков ровно два — Р.
Посмотрим, какие исходы соответствуют этому:
- № 4: О Р Р — две решки
- № 6: Р О Р — две решки
- № 7: Р Р О — две решки
Всего 3 исхода.
Вероятность события В:
\[ P(B) = \frac{3}{8} \]
Шаг 4. Определяем пересечение событий \(A \cap B\)
Это значит, чтобы одновременно было:
- Первый бросок — орёл (А)
- Ровно две решки в трёх бросках (В)
Ключевое: первый бросок — орёл, а всего две решки. Значит, среди остальных двух бросков должно быть ровно одна решка.
Посмотрим исходы, где первый бросок — О:
- № 1: О О О — не подходит, так как решек 0
- № 2: О О Р — решек один, подходит
- № 3: О Р О — решек один, подходит
- № 4: О Р Р — решек две, не подходит
Следовательно, исходы, входящие в \(A \cap B\):
- № 2: О О Р
- № 3: О Р О
Вероятность их совместного возникновения:
\[ P(A \cap B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Шаг 5. Проверяем независимость событий
Два события А и В — независимы, если:
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
Подставим значения:
\[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]
А мы нашли:
\[ P(A \cap B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = \frac{4}{16} \]
Поскольку:
\[ \frac{1}{4} \neq \frac{3}{16} \]
следовательно, события не являются независимыми.
Итог:
Ответ: События «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды» — не являются независимыми.
