Алгебра

Конечно! Обратите внимание, что в задаче у вас есть функция: \[ y = 2x + 4|x| - x^2 \] и нужно построить её график и определить при каких значениях \( x \) с прямой \( y = 3 \) она имеет ровно три общие точки. --- ### Шаг 1: разбор функции \( y = 2x + 4|x| - x^2 \) Функция содержит модуль \( |x| \), поэтому её лучше рассмотреть в двух случаях: - при \( x \geq 0 \), - при \( x < 0 \). --- ### Шаг 2: случай \( x \geq 0 \) Здесь \( |x| = x \), следовательно: \[ y = 2x + 4x - x^2 = (2x + 4x) - x^2 = 6x - x^2 \] Это квадратичная функция, график которой — ветвь параболы: \[ y = -x^2 + 6x \] ее вершина находится в точке: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 \] Подставим \( x=3 \): \[ y_{верш} = -3^2 + 6 \cdot 3 = -9 + 18 = 9 \] Итак, график при \( x \ge 0 \) — парабола с вершиной в точке \((3,9)\), открытая вниз. --- ### Шаг 3: случай \( x < 0 \) Здесь \( |x| = -x \), потому что \( x<0 \) \[ y = 2x + 4(-x) - x^2 = 2x - 4x - x^2 = -2x - x^2 \] Это тоже парабола: \[ y = -x^2 - 2x \] найдём вершину: \[ x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1 \] Подставим \( x = -1 \): \[ y = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1 \] график — ветвь параболы с вершиной в точке \((-1,1)\), которая принимает значения при \( x<0 \). --- ### Шаг 4: график функции Итогово: - при \( x \ge 0 \): график — парабола \( y = -x^2 + 6x \), вершина в \((3, 9)\), - при \( x < 0 \): график — парабола \( y = -x^2 - 2x \), вершина в \((-1, 1)\). --- ### Шаг 5: анализ пересечений с линией \( y = 3 \) Теперь нужно найти точки пересечения функции \( y = 3 \). --- ### Шаг 6: при \( x \ge 0 \) Рассмотрим уравнение: \[ 6x - x^2 = 3 \] переносим: \[ -x^2 + 6x - 3 = 0 \] или \[ x^2 - 6x + 3 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 3 \pm \sqrt{6} \] Поскольку \( x \ge 0 \), и \( 3 - \sqrt{6} \approx 3 - 2.45 = 0.55 > 0 \), оба корня удовлетворяют условию \( x \ge 0 \). так как \( 3 + \sqrt{6}\approx 3 + 2.45 = 5.45 \), тоже входит. *Следовательно, при \( x \ge 0 \) есть 2 точки пересечения.* --- ### Шаг 7: при \( x < 0 \) Рассмотрим уравнение: \[ - x^2 - 2x = 3 \] переносим: \[ - x^2 - 2x - 3 = 0 \] или: \[ x^2 + 2x + 3 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 \] корней нет, значит в этом диапазоне пересечений с линией \( y=3 \) нет. --- ### Итог: сколько точек пересечения? - при \( x \ge 0 \): 2 точки - при \( x < 0 \): 0 точек **Общее количество точек пересечения с линией \( y=3 \): 2.** --- ### Шаг 8: условие "при каких значениях \( x \) с прямой \( y=3 \) функция имеет ровно три точки" Отсюда ответ: чтобы было 3 точки пересечения, должно быть: - одна точка пересечения при \( x<0 \), - и две при \( x \ge 0 \). Но мы увидели, что при \( y=3 \), в области \( x<0 \) — решений нет. Значит, невозможно, чтобы всего было три точки пересечения с линией \( y=3 \). --- ### **Ответ:** Функция пересекает линию \( y=3 \) в двух точках при \( x \ge 0 \), и больше в \( x<0 \) — не пересекает. **Значит, ровно 2 точки пересечения, и у функции невозможно иметь ровно три общие точки с линией \( y=3 \).** --- Если нужна графическая иллюстрация или дополнительные объяснения, скажите!