Определи неверное свойство степенной функции y = x p y=x p , где p = − 2 n p=−2n , а n n — натуральное число. 1. Областью определения является множество действительных чисел. 2.…
Определи неверное свойство степенной функции y = x p y=x p , где p = − 2 n p=−2n, а n n — натуральное число. 1. Областью определения является множество действительных чисел. 2. Множеством значений является множество положительных чисел. 3. Функция чётная. 4. Функция убывает при x > 0 x>0 и возрастает при x < 0 x<0. 5. Функция ограничена снизу. 6. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения. Выбери верный вариант.
Рассмотрим функцию \( y = x^p \), где \( p = -2n \), а \( n \) — натуральное число (то есть \( n = 1, 2, 3, \ldots \)). Поскольку \( p = -2n \), это чётное отрицательное число (например, при \( n=1 \), \( p=-2 \); при \( n=2 \), \( p=-4 \) и так далее).
Разобьём каждое утверждение и определим, какое из них неверное.
1. Область определения — множество действительных чисел.
Так как \( p \) — отрицательное чётное число, то для функции \( y = x^p \) есть ограничения:
- \( x^p \) задано для всех \( x \neq 0 \), потому что отрицательные степени подразумевают деление: \( x^p = 1 / x^{|p|} \).
- При \( x=0 \) выражение недопустимо (деление на ноль).
Значит, область определения — все \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). Не вся совокупность действительных чисел, поэтому первое утверждение — ложное. Но в условии говорится "Областью определения является множество действительных чисел," — это неверно, так как \( x=0 \) недопустимо.
2. Множество значений — множество положительных чисел.
Поскольку \( p \) чётное и отрицательное, то:
- \( x^{p} = 1 / x^{|p|} \).
Для \( x>0 \), \( y = 1 / x^{|p|} \) — положительное число, так как деление положительных чисел даёт положительный результат.
Для \( x<0 \):
- \( x^{p} = 1 / x^{|p|} \).
- поскольку чётное \( |p| \), \( x^{|p|} \) — тоже положительное число (независимо от знака \( x \)), тогда деление даёт положительное число.
Итак, в обоих случаях \( y > 0 \).
Следовательно, множество значений —subset положительных чисел. Это верно.
3. Функция чётная.
Поскольку \( p \) чётное, и экспонента совпадает для \( x \) и \( -x \):
\[ (-x)^p = (-1)^p \cdot x^p = x^p, \]
так как \( p \) чётное, \( (-1)^p=1 \).
Значит, \( y = x^p \) — чётная функция. Верно.
4. Функция убывает при \( x>0 \) и возрастает при \( x<0 \).
Рассмотрим:
- для \( x>0 \):
\[ y = 1 / x^{|p|}, \]
где \( |p| \) — чётное, значит:
\[ y \to 0 \text{ при } x \to +\infty, \] и \[ y \to +\infty \text{ при } x \to 0^+. \]
Это монотонно убывающая функция на \( (0, +\infty) \).
- для \( x<0 \):
Аналогично,
\[ y=1 / x^{|p|}, \]
но \( x<0 \), и \( x^{|p|} \) — положительно, так как экспонента чётная.
При \( x \to 0^- \):
\[ y \to +\infty, \] и при \( x \to -\infty \):
\[ y \to 0^+, \]
на интервале \( (-\infty, 0) \), функция убывает или возрастает? Внимание: поскольку \( y=1 / x^{|p|} \), при \( x<0 \):
- \( y \to +\infty \) при \( x \to 0^- \),
- \( y \to 0^+ \) при \( x \to -\infty \).
Это убывающая с точки зрения изменения \( y \).
Итак, утверждение, что функция убывает при \( x>0 \) и возрастает при \( x<0 \), — неверно. Функция убывает на обеих половинах, что делает утверждение неверным.
5. Функция ограничена снизу.
На \( (0, +\infty) \):
\[ y \to +\infty \text{ при } x \to 0^+, \]
и
\[ y \to 0^+ \text{ при } x \to +\infty. \]
Значит, снизу — она не ограничена, так как при \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \). Там нет нижней границы.
На отрицательной стороне:
\[ x \to 0^-,\quad y \to +\infty, \]
и при \( x \to -\infty \), \( y \to 0^+ \).
Поэтому функция ограничена снизу (в области \( x<0 \) — снизу 0, а в области \( x>0 \)), если считать область всей функции за \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). На самом деле, при \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \), функция не ограничена сверху, а также не ограничена снизу. Поэтому это утверждение неверное.
6. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения.
Поскольку на \( (0, +\infty) \):
- \( y \to +\infty \) при \( x \to 0^+ \), то максимум — не существует.
- \( y \to 0^+ \) при \( x \to +\infty \), то это значение — инфимум, но не максимум, поскольку \( y \) не достигает нуля.
На \( (-\infty, 0) \):
- \( y \to 0^+ \) при \( x \to -\infty \),
- \( y \to +\infty \) при \( x \to 0^- \).
Значит, на всей области у функции нет верхней или нижней границы, она не достигает ни максимума, ни минимума. Утверждение — верное.
Итог:
Самое важное — это пункт 4 — неправильное описание монотонности: утверждение, что функция убывает при \( x>0 \) и возрастает при \( x<0 \), — неверно.
Ответ: Вариант 4 — неверное свойство.
