Определи неверное свойство степенной функции  y = x p y=x p , где  p = − 2 n p=−2n, а  n n — натуральное число. 1. Областью определения является множество действительных чисел. 2. Множеством значений является множество положительных чисел. 3. Функция чётная. 4. Функция убывает при  x > 0 x>0 и возрастает при  x < 0 x<0. 5. Функция ограничена снизу. 6. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения. Выбери верный вариант.

Рассмотрим функцию \( y = x^p \), где \( p = -2n \), а \( n \) — натуральное число (то есть \( n = 1, 2, 3, \ldots \)). Поскольку \( p = -2n \), это чётное отрицательное число (например, при \( n=1 \), \( p=-2 \); при \( n=2 \), \( p=-4 \) и так далее). Разобьём каждое утверждение и определим, какое из них неверное. --- **1. Область определения — множество действительных чисел.** Так как \( p \) — отрицательное чётное число, то для функции \( y = x^p \) есть ограничения: - \( x^p \) задано для всех \( x \neq 0 \), потому что отрицательные степени подразумевают деление: \( x^p = 1 / x^{|p|} \). - При \( x=0 \) выражение недопустимо (деление на ноль). **Значит, область определения — все \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).** Не вся совокупность действительных чисел, поэтому первое утверждение — **ложное**. Но в условии говорится "Областью определения является множество действительных чисел," — это неверно, так как \( x=0 \) недопустимо. --- **2. Множество значений — множество положительных чисел.** Поскольку \( p \) чётное и отрицательное, то: - \( x^{p} = 1 / x^{|p|} \). Для \( x>0 \), \( y = 1 / x^{|p|} \) — положительное число, так как деление положительных чисел даёт положительный результат. Для \( x<0 \): - \( x^{p} = 1 / x^{|p|} \). - поскольку чётное \( |p| \), \( x^{|p|} \) — тоже положительное число (независимо от знака \( x \)), тогда деление даёт положительное число. Итак, в обоих случаях \( y > 0 \). **Следовательно, множество значений —subset положительных чисел.** Это верно. --- **3. Функция чётная.** Поскольку \( p \) чётное, и экспонента совпадает для \( x \) и \( -x \): \[ (-x)^p = (-1)^p \cdot x^p = x^p, \] так как \( p \) чётное, \( (-1)^p=1 \). **Значит, \( y = x^p \) — чётная функция.** Верно. --- **4. Функция убывает при \( x>0 \) и возрастает при \( x<0 \).** Рассмотрим: - для \( x>0 \): \[ y = 1 / x^{|p|}, \] где \( |p| \) — чётное, значит: \[ y \to 0 \text{ при } x \to +\infty, \] и \[ y \to +\infty \text{ при } x \to 0^+. \] Это монотонно убывающая функция на \( (0, +\infty) \). - для \( x<0 \): Аналогично, \[ y=1 / x^{|p|}, \] но \( x<0 \), и \( x^{|p|} \) — положительно, так как экспонента чётная. При \( x \to 0^- \): \[ y \to +\infty, \] и при \( x \to -\infty \): \[ y \to 0^+, \] на интервале \( (-\infty, 0) \), функция убывает или возрастает? Внимание: поскольку \( y=1 / x^{|p|} \), при \( x<0 \): - \( y \to +\infty \) при \( x \to 0^- \), - \( y \to 0^+ \) при \( x \to -\infty \). Это убывающая с точки зрения изменения \( y \). Итак, утверждение, что функция убывает при \( x>0 \) и возрастает при \( x<0 \), — неверно. Функция убывает на обеих половинах, что делает утверждение неверным. --- **5. Функция ограничена снизу.** На \( (0, +\infty) \): \[ y \to +\infty \text{ при } x \to 0^+, \] и \[ y \to 0^+ \text{ при } x \to +\infty. \] Значит, снизу — она не ограничена, так как при \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \). Там нет нижней границы. На отрицательной стороне: \[ x \to 0^-,\quad y \to +\infty, \] и при \( x \to -\infty \), \( y \to 0^+ \). Поэтому функция ограничена снизу (в области \( x<0 \) — снизу 0, а в области \( x>0 \)), если считать область всей функции за \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \). На самом деле, при \( x \to 0^+ \), \( y \to +\infty \), функция не ограничена сверху, а также не ограничена снизу. Поэтому это утверждение неверное. --- **6. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значения.** Поскольку на \( (0, +\infty) \): - \( y \to +\infty \) при \( x \to 0^+ \), то максимум — не существует. - \( y \to 0^+ \) при \( x \to +\infty \), то это значение — инфимум, но не максимум, поскольку \( y \) не достигает нуля. На \( (-\infty, 0) \): - \( y \to 0^+ \) при \( x \to -\infty \), - \( y \to +\infty \) при \( x \to 0^- \). Значит, на всей области у функции нет верхней или нижней границы, она не достигает ни максимума, ни минимума. Утверждение — верное. --- ### Итог: Самое важное — это пункт **4** — неправильное описание монотонности: утверждение, что функция убывает при \( x>0 \) и возрастает при \( x<0 \), — **неверно**. --- **Ответ: Вариант 4 — неверное свойство.**