Давайте решим задачу пошагово.
Задача в общем виде:
У нас есть медный виток с диаметром d = 10 см (то есть радиус r = 5 см = 0,05 м), изготовленный из проволоки диаметром d1 = 1,5 мм = 0,0015 м. Виток помещен в магнитное поле, линий индукции которого перпендикулярны плоскости витка, и оно равномерно убывает от B = 0,70 Тл до 0 за время Δt. Надо найти заряд, прошедший через виток за это время.
Шаг 1. Определение магнитного потока и его изменения
Магнитный поток через виток:
[
\Phi = B \cdot S
]
где
- ( B ) — магнитная индукция,
- ( S ) — площадь витка.
Площадь витка:
[
S = \pi r^2 = \pi \times (0,05)^2 = \pi \times 0,0025 \approx 0,007854, \text{м}^2
]
Шаг 2. Вычисление изменения магнитного потока
Магнитное поле убывает от ( B_0 = 0,70, Т ) до 0 за время ( \Delta t ).
Изменение потока:
[
\Delta \Phi = \Phi_{\text{конечное}} - \Phi_{\text{начальное}} = 0 - B_0 S = - B_0 S
]
Величина (\Delta \Phi) отрицательна, так как поток уменьшается.
Шаг 3. Закон электромагнитной индукции и вычисление ЭДС
По закону Фарадея:
[
\mathcal{E} = - \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}
]
где (\mathcal{E}) — электродвижущая сила, вызывающая движение тока.
Шаг 4. Определение сопротивления витка
Рассчитаем сопротивление медной проволоки.
Длина проволоки:
Проволока намотана в виток радиуса r и длиной ( l ):
[
l = \text{длина проволоки} \approx 2\pi r
]
Для одного витка:
[
l \approx 2 \pi \times 0,05 \approx 0,314, \text{м}
]
Многовитковый провод:
Допустим, что виток — это сплошная проволока, намотанная в окружность. Тогда длина проволоки равна ( l \approx 0,314,м ).
Поскольку диаметр проволоки ( d_1 = 0,0015, м ), радиус поперечного сечения:
[
A = \frac{\pi}{4} d_1^2 = \frac{\pi}{4} \times (0,0015)^2 \approx 1,767 \times 10^{-6}, м^2
]
Сопротивление проволоки:
Рассчитаем сопротивление ( R ) по формуле:
[
R = \rho \frac{l}{A}
]
где
- ( \rho_{\text{медь}} \approx 1,68 \times 10^{-8}, \Omega \cdot м ).
Подставляем:
[
R = 1,68 \times 10^{-8} \times \frac{0,314}{1,767 \times 10^{-6}} \approx 2,99 \times 10^{-3}, \Omega
]
Шаг 5. Вычисление тока и прошедшего заряда
ЭДС:
[
\mathcal{E} = \frac{B_0 S}{\Delta t}
]
Ток по закону Ома:
[
I = \frac{\mathcal{E}}{R}
]
Общий заряд, прошедший за время (\Delta t):
[
Q = I \times \Delta t = \frac{\mathcal{E}}{R} \times \Delta t = \frac{B_0 S}{R}
]
Обратите внимание, что при этом переменные (\Delta t) сокращаются:
[
Q = \frac{B_0 S}{R}
]
это связано с тем, что электрическая энергия, вызванная изменением магнитного потока, равна работе, совершенной током.
Шаг 6. Подставим числа:
[
Q = \frac{0,70 \times 0,007854}{2,99 \times 10^{-3}}
]
В числителе:
[
0,70 \times 0,007854 \approx 0,005498
]
В получении:
[
Q \approx \frac{0,005498}{2,99 \times 10^{-3}} \approx 1,837, \text{Кл}
]
Ответ:
Заряд, прошедший по витку за время исчезновения магнитного поля, составляет примерно 1.84 кулона.
Если нужны дополнительные уточнения или разъяснения — обращайтесь!
