Билеты к зачету по геометрии, 8 класс Билет №1. 1. Прямоугольник, квадрат, ромб. Свойства и признаки. 2. Основания ВС и АD трапеции АВСD равны соответственно 5 и 20, ВD=10. Доказать, что треугольники СВD и АВD подобны. Билет №2. 1. Понятие площади. Свойства площади. Площадь квадрата и прямоугольника. 2. В выпуклом четырёхугольнике АВСD углы ВСА и ВDА равны. Доказать, что углы АВD и АСD тоже равны. Билет №3. 1. Подобие. Отношение площадей подобных треугольников. 2. Известно, что около четырёхугольника АВСD можно описать окружность и что продолжения сторон АВ и СD четырёхугольника пересекаются в точке М. Доказать, что треугольники МВС и МDА подобны. Билет №4. 1. Свойства параллелограмма. 2. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на две равновеликие части. Билет №5. 1. Многоугольники. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника, четырёхугольника. Сумма внешних углов n-угольника. 2. Окружности с центрами в точках М и N пересекаются в точках А и В, причём М и N лежат по одну сторону от прямой АВ. Доказать, что АВперпендикулярноМN. Билет №6. 1. Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. 2. В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Доказать, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны. Билет №7. 1. Теорема о биссектрисе треугольника. 2. Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма АВСD проведена прямая, пересекающая стороны АВ и СD в точках Р и Т соответственно. Доказать, что ВР=DТ. Билет №8. 1. Формулы площади треугольника (в том числе прямоугольного и равностороннего). Вывод формул S=pr, S= ab∙sinуголC. 2. Биссектрисы углов В и С трапеции АВСD пресекаются в точке О, лежащей на стороне АD. Доказать, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС, СD. Билет №9. 1. Вывод формулы площади параллелограмма(2), ромба(2), трапеции(1). 2. Окружности с центрами М и N не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Доказать, что диаметры этих окружностей также относятся как m:n. Билет №10. 1. Признаки параллелограмма. 2. Доказать, что три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольника. Билет №11. 1. Обобщенная теорема Фалеса. 2. Высоты АА1 и ВВ1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Е. Доказать, что углы АА1В1 и АВВ1 равны. Билет №12. 1. Теоремы о средней линии треугольника и трапеции. 2. В четырёхугольнике АВСD уголА+уголВ=уголВ+уголС=180 градусов. Определите тип четырёхугольника. Билет №13. 1. Теорема Пифагора (прямая и обратная). 2. Диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон. Доказать, что этот параллелограмм – прямоугольник. Билет №14. 1. Вывод формулы Герона. 2. В параллелограмме АВСD проведены высоты ВЕ и ЕF. Доказать, подобие треугольников АВЕ и СВF. Билет №15. 1. Признаки подобия треугольников. 2. Доказать, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольника являются вершинами квадрата. Билет №16. 1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (2). 2. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит его на две равновеликие фигуры. Билет №17. 1. Свойства и признаки равнобедренной трапеции. 2. Доказать утверждение: если две стороны и медиана, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне другого треугольника, то такие треугольники равны. Билет №18. 1. Свойство и признак четырёхугольника, описанного около окружности. 2. Доказать, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой. Билет №19. 1. Свойство и признак четырёхугольника, вписанного в окружность. 2. Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине. Билет №20. 1. Четыре замечательные точки треугольника. 2. Доказать, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм – прямоугольник. Билет №21. 1. Теорема Вариньона. 2. Сторона ромба равна (, а один из углов равен β. Найдите диагонали ромба. Билет №22. 1. Углы, связанные с окружностью: центральный и вписанный. 2. Вывод формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник. Билет №23. 1. Углы, связанные с окружностью (с вершиной вне круга, с вершиной внутри круга, угол между касательной и хордой). 2. В остроугольном треугольнике АВС ВD(АС, DЕ(АВ, DF(ВС. Доказать, что треугольник ЕВF подобен треугольнику АВС. Билет №24. 1. Свойства пересекающихся хорд и секущих к окружности. 2. Доказать что, отрезок разбивающий трапецию на две подобные трапеции, имеет длину равную среднему геометрическому длин оснований. Билет №25. 1. Определение тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника. Нахождение значений тригонометрических функций углов 30° ,45° ,60° . 2. Доказать, что если в параллелограмм можно вписать  окружность, то этот параллелограмм – ромб.