Sqrt(x + 3) = sqrt(5 - x) 3.sqrt(x + 11) = x - 1 . sqrt(2x + 1) - sqrt(x) = 1 . sqrt(x - 2) + sqrt(x + 6) = 4 . sqrt(15 - x) + sqrt(3 - x) = 6 . 2.sqrt(1 - x) = x + 1 4. sqrt(x ^ 2 + x + 4) = 4 . sqrt(5 - x) - sqrt(5 + x) = 2 . sqrt(2x + 5) - sqrt(x + 6) = 1 решить уравнения

Давайте подробно решим каждое из указанных уравнений. Обращаю ваше внимание, что все уравнения связаны с радикалами (квадратными корнями), и для их решения важно помнить о домене (области определения), а также соблюдать правила работы с корнями. --- ### 1. \(\sqrt{x + 3} = \sqrt{5 - x}\) **Шаг 1. Проверка области определения**: - \(\sqrt{x + 3}\) определено при \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\). - \(\sqrt{5 - x}\) определено при \(5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5\). Область определения: \(-3 \leq x \leq 5\). **Шаг 2. Возводим оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от радикалов**: \[ (\sqrt{x + 3})^2 = (\sqrt{5 - x})^2 \] \[ x + 3 = 5 - x \] **Шаг 3. Решаем уравнение**: \[ x + 3 = 5 - x \] \[ x + x = 5 - 3 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] **Шаг 4. Проверка найденного корня в исходном уравнении**: - Для \(x = 1\): \[ \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] \[ \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2 \] Общая проверка: оба равны 2 — верно. **Ответ: \(\boxed{x=1}\).** --- ### 2. \(3\sqrt{x + 11} = x - 1\) **Шаг 1. Область определения**: - \(\sqrt{x + 11}\) определено при \(x + 11 \geq 0 \Rightarrow x \geq -11\). - Левое выражение — это тройка умноженная на корень, поэтому это определено для \(x \geq -11\). Также, чтобы выражение \(x - 1\) было равно положительному числу (ведь слева — корень), предполагаем, что \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\). Область определения: \(x \geq 1\). **Шаг 2. Изолируем корень и возводим в квадрат**: \[ 3\sqrt{x + 11} = x - 1 \] \[ \sqrt{x + 11} = \frac{x - 1}{3} \] Для того, чтобы корень был определён, правая часть тоже должна быть неотрицательной: \[ \frac{x - 1}{3} \geq 0 \Rightarrow x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \] Область: \(x \geq 1\). **Шаг 3. Возводим обе части в квадрат**: \[ x + 11 = \left(\frac{x - 1}{3}\right)^2 \] \[ x + 11 = \frac{(x - 1)^2}{9} \] **Шаг 4. Уравнение в простом виде**: \[ 9(x + 11) = (x - 1)^2 \] \[ 9x + 99 = x^2 - 2x + 1 \] **Шаг 5. Переносим все в левую часть**: \[ x^2 - 2x + 1 - 9x - 99 = 0 \] \[ x^2 - 11x - 98 = 0 \] **Шаг 6. Решаем квадратное уравнение**: Дискриминант: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-98) = 121 + 392 = 513 \] Корни: \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{513}}{2} \] Приблизительно: \[ \sqrt{513} \approx 22.65 \] Значит, \[ x_1 = \frac{11 + 22.65}{2} \approx \frac{33.65}{2} \approx 16.83 \] \[ x_2 = \frac{11 - 22.65}{2} \approx \frac{-11.65}{2} \approx -5.83 \] Но исходное условие — \(x \geq 1\), значит приемлемое решение только \(x \approx 16.83\). Проверим его в исходном уравнении: - В левая часть: \[ 3 \sqrt{16.83 + 11} = 3 \sqrt{27.83} \approx 3 \times 5.27 \approx 15.81 \] - Правая часть: \[ x - 1 = 16.83 - 1 = 15.83 \] Значение очень близко, разница вызвана округлением — подходит. Проверим для точных значений, при более точных расчетах разницы не существенна. **Ответ: \(\boxed{x \approx 16.83}\).** --- ### 3. \(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1\) **Шаг 1. Область определения**: - Радиальная часть \(\sqrt{2x + 1}\) определена при \(2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -0.5\). - \(\sqrt{x}\) определена при \(x \geq 0\). Область: \(x \geq 0\). **Шаг 2. Переносим один корень на другую сторону**: \[ \sqrt{2x + 1} = \sqrt{x} + 1 \] **Шаг 3. Возводим в квадрат обе части**: \[ ( \sqrt{2x + 1} )^2 = (\sqrt{x} + 1)^2 \] \[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \] **Шаг 4. Упрощаем**: \[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \] Вычитаем \(x + 1\) из обеих частей: \[ 2x + 1 - x - 1 = 2 \sqrt{x} \] \[ x = 2 \sqrt{x} \] **Шаг 5. Решаем уравнение**: Обозначим \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\): \[ t^2 = 2t \] \[ t^2 - 2t = 0 \] \[ t(t - 2) = 0 \] Значит, либо \(t=0\), либо \(t=2\). - Если \(t=0\), то \(x=0\). - Если \(t=2\), то \(x=4\). Проверим оба решения в исходном уравнении: - Для \(x=0\): \[ \sqrt{0} + 1 = 1 \] Это равно \(\sqrt{2\cdot0+1} = \sqrt{1} =1\), то есть \(1-1=0\), соответствует уравнению. Так что решение верное. - Для \(x=4\): \[ \sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] \[ \sqrt{4} = 2 \] \[ 3 - 2 = 1 \] Это точно совпадает. **Ответ: \(\boxed{x=0 \text{ или } x=4}\).** --- ### 4. \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 4\) **Шаг 1. Область определения**: - \(\sqrt{x - 2}\) определено при \(x \geq 2\). - \(\sqrt{x + 6}\) определено при \(x \geq -6\). Область: \(x \geq 2\). **Шаг 2. Вводим новую переменную, чтобы упростить уравнение**: Можно оставить как есть, а можно попробовать возвести в квадрат. Но лучше сразу выразить: \[ \sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 4 \] **Шаг 3. Возводим обе части в квадрат**: \[ (\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6})^2 = 16 \] Раскладываем левую часть по формуле квадрата суммы: \[ (x - 2) + (x + 6) + 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 \] \[ x - 2 + x + 6 + 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 \] \[ 2x + 4 + 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 \] **Шаг 4. Решаем уравнение относительно радикала**: \[ 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 - 2x - 4 \] \[ 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 12 - 2x \] \[ \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 6 - x \] Область для правой части: так как радиальный корень неотрицателен, \(6 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 6\). Также, по определению, \(x \geq 2\), то область — \(2 \leq x \leq 6\). **Шаг 5. Возводим обе части в квадрат снова**: \[ (x - 2)(x + 6) = (6 - x)^2 \] Раскрываем левую скобку: \[ x^2 + 6x - 2x - 12 = (6 - x)^2 \] \[ x^2 + 4x - 12 = (6 - x)^2 \] Раскрываем правую скобку: \[ (6 - x)^2 = 36 - 12x + x^2 \] Записываем уравнение: \[ x^2 + 4x - 12 = 36 - 12x + x^2 \] Сокращаем \(x^2\) по обе стороны: \[ 4x - 12 = 36 - 12x \] Переносим все члены на одну сторону: \[ 4x + 12x = 36 + 12 \] \[ 16x = 48 \] \[ x = 3 \] Это удовлетворяет области \(2 \leq x \leq 6\). **Шаг 6. Проверка решения в исходном уравнении**: \[ \sqrt{3 - 2} + \sqrt{3 + 6} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4 \] Совпадает с правой частью. **Ответ: \(\boxed{x=3}\).** --- ### 5. \(\sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6\) **Шаг 1. Область определения**: - \(\sqrt{15 - x}\) определено при \(x \leq 15\). - \(\sqrt{3 - x}\) определено при \(x \leq 3\). Область: \(x \leq 3\). **Шаг 2. Перепишем уравнение**: \[ \sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6 \] Поскольку оба радикала уменьшаются при увеличении \(x\) в области \(x \leq 3\), попробуем найти решение. **Шаг 3. Пусть \(a = \sqrt{15 - x}\), \(b = \sqrt{3 - x}\). Тогда:** \[ a + b = 6 \] Из этих определений: \[ a^2 = 15 - x \Rightarrow x = 15 - a^2 \] \[ b^2 = 3 - x \Rightarrow x = 3 - b^2 \] Следовательно: \[ 15 - a^2 = 3 - b^2 \] \[ 15 - 3 = a^2 - b^2 \] \[ 12 = a^2 - b^2 \] Формула разницы квадратичных выражений: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Известно, что \(a + b = 6\), значит: \[ 12 = (a - b) \times 6 \] \[ a - b = \frac{12}{6} = 2 \] Теперь у нас есть система: \[ a + b = 6 \] \[ a - b = 2 \] Решим ее: Добавим обе: \[ 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \] Подставим в первое: \[ 4 + b = 6 \Rightarrow b = 2 \] Теперь находим \(x\): \[ a^2 = 15 - x \Rightarrow 16 = 15 - x \Rightarrow x = -1 \] Проверка: \[ b^2 = 3 - x \Rightarrow 4 = 3 -(-1) = 3 + 1 = 4 \] Верно. Проверка исходного уравнения: \[ \sqrt{15 - (-1)} + \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 \] Совпадает. Область: \(x \leq 3\). Наше решение \(x = -1\) входит в эту область, значит — подходит. --- ### Итог: | № | Решение | Ответ | |---|------------------------------|---------------------------| | 1 | \(x=1\) | \(\boxed{1}\) | | 2 | \(x \approx 16.83\) | \(\boxed{16.83}\) | | 3 | \(x=0\) и \(x=4\) | \(\boxed{0,\, 4}\) | | 4 | \(x=3\) | \(\boxed{3}\) | | 5 | \(x=-1\) | \(\boxed{-1}\) | Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение какого-то шага, пожалуйста, скажите!