sqrt(x + 3) = sqrt(5 - x) 3.sqrt(x + 11) = x - 1 . sqrt(2x + 1) - sqrt(x) = 1 . sqrt(x - 2) + sqrt(x + 6) = 4 . sqrt(15 - x) + sqrt(3 - x) = 6 . 2.sqrt(1 - x) = x + 1 4. sqrt(x ^…

Давайте подробно решим каждое из указанных уравнений. Обращаю ваше внимание, что все уравнения связаны с радикалами (квадратными корнями), и для их решения важно помнить о домене (области определения), а также соблюдать правила работы с корнями.

---

1. \(\sqrt{x + 3} = \sqrt{5 - x}\)

Шаг 1. Проверка области определения:

• \(\sqrt{x + 3}\) определено при \(x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3\).
• \(\sqrt{5 - x}\) определено при \(5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5\).

Область определения: \(-3 \leq x \leq 5\).

Шаг 2. Возводим оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от радикалов: \[ (\sqrt{x + 3})^2 = (\sqrt{5 - x})^2 \] \[ x + 3 = 5 - x \]

Шаг 3. Решаем уравнение: \[ x + 3 = 5 - x \] \[ x + x = 5 - 3 \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \]

Шаг 4. Проверка найденного корня в исходном уравнении:

• Для \(x = 1\): \[ \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] \[ \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2 \] Общая проверка: оба равны 2 — верно.

Ответ: \(\boxed{x=1}\).

---

2. \(3\sqrt{x + 11} = x - 1\)

Шаг 1. Область определения:

• \(\sqrt{x + 11}\) определено при \(x + 11 \geq 0 \Rightarrow x \geq -11\).
• Левое выражение — это тройка умноженная на корень, поэтому это определено для \(x \geq -11\).

Также, чтобы выражение \(x - 1\) было равно положительному числу (ведь слева — корень), предполагаем, что \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\).

Область определения: \(x \geq 1\).

Шаг 2. Изолируем корень и возводим в квадрат:

\[ 3\sqrt{x + 11} = x - 1 \]

\[ \sqrt{x + 11} = \frac{x - 1}{3} \]

Для того, чтобы корень был определён, правая часть тоже должна быть неотрицательной:

\[ \frac{x - 1}{3} \geq 0 \Rightarrow x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \]

Область: \(x \geq 1\).

Шаг 3. Возводим обе части в квадрат:

\[ x + 11 = \left(\frac{x - 1}{3}\right)^2 \] \[ x + 11 = \frac{(x - 1)^2}{9} \]

Шаг 4. Уравнение в простом виде:

\[ 9(x + 11) = (x - 1)^2 \] \[ 9x + 99 = x^2 - 2x + 1 \]

Шаг 5. Переносим все в левую часть:

\[ x^2 - 2x + 1 - 9x - 99 = 0 \] \[ x^2 - 11x - 98 = 0 \]

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-98) = 121 + 392 = 513 \]

Корни: \[ x = \frac{11 \pm \sqrt{513}}{2} \]

Приблизительно: \[ \sqrt{513} \approx 22.65 \]

Значит, \[ x_1 = \frac{11 + 22.65}{2} \approx \frac{33.65}{2} \approx 16.83 \] \[ x_2 = \frac{11 - 22.65}{2} \approx \frac{-11.65}{2} \approx -5.83 \]

Но исходное условие — \(x \geq 1\), значит приемлемое решение только \(x \approx 16.83\). Проверим его в исходном уравнении:

• В левая часть: \[ 3 \sqrt{16.83 + 11} = 3 \sqrt{27.83} \approx 3 \times 5.27 \approx 15.81 \]

• Правая часть: \[ x - 1 = 16.83 - 1 = 15.83 \]

Значение очень близко, разница вызвана округлением — подходит. Проверим для точных значений, при более точных расчетах разницы не существенна.

Ответ: \(\boxed{x \approx 16.83}\).

---

3. \(\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x} = 1\)

Шаг 1. Область определения:

• Радиальная часть \(\sqrt{2x + 1}\) определена при \(2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -0.5\).
• \(\sqrt{x}\) определена при \(x \geq 0\).

Область: \(x \geq 0\).

Шаг 2. Переносим один корень на другую сторону:

\[ \sqrt{2x + 1} = \sqrt{x} + 1 \]

Шаг 3. Возводим в квадрат обе части:

\[ ( \sqrt{2x + 1} )^2 = (\sqrt{x} + 1)^2 \]

\[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \]

Шаг 4. Упрощаем:

\[ 2x + 1 = x + 2 \sqrt{x} + 1 \]

Вычитаем \(x + 1\) из обеих частей:

\[ 2x + 1 - x - 1 = 2 \sqrt{x} \]

\[ x = 2 \sqrt{x} \]

Шаг 5. Решаем уравнение:

Обозначим \(t = \sqrt{x}\), тогда \(x = t^2\):

\[ t^2 = 2t \] \[ t^2 - 2t = 0 \] \[ t(t - 2) = 0 \]

Значит, либо \(t=0\), либо \(t=2\).

• Если \(t=0\), то \(x=0\).
• Если \(t=2\), то \(x=4\).

Проверим оба решения в исходном уравнении:

• Для \(x=0\):

\[ \sqrt{0} + 1 = 1 \] Это равно \(\sqrt{2\cdot0+1} = \sqrt{1} =1\), то есть \(1-1=0\), соответствует уравнению. Так что решение верное.

• Для \(x=4\):

\[ \sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] \[ \sqrt{4} = 2 \] \[ 3 - 2 = 1 \] Это точно совпадает.

Ответ: \(\boxed{x=0 \text{ или } x=4}\).

---

4. \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 4\)

Шаг 1. Область определения:

• \(\sqrt{x - 2}\) определено при \(x \geq 2\).
• \(\sqrt{x + 6}\) определено при \(x \geq -6\).

Область: \(x \geq 2\).

Шаг 2. Вводим новую переменную, чтобы упростить уравнение:

Можно оставить как есть, а можно попробовать возвести в квадрат. Но лучше сразу выразить:

\[ \sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6} = 4 \]

Шаг 3. Возводим обе части в квадрат:

\[ (\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 6})^2 = 16 \]

Раскладываем левую часть по формуле квадрата суммы:

\[ (x - 2) + (x + 6) + 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 \]

\[ x - 2 + x + 6 + 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 \]

\[ 2x + 4 + 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 \]

Шаг 4. Решаем уравнение относительно радикала:

\[ 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 16 - 2x - 4 \] \[ 2 \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 12 - 2x \] \[ \sqrt{(x - 2)(x + 6)} = 6 - x \]

Область для правой части: так как радиальный корень неотрицателен, \(6 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 6\).

Также, по определению, \(x \geq 2\), то область — \(2 \leq x \leq 6\).

Шаг 5. Возводим обе части в квадрат снова:

\[ (x - 2)(x + 6) = (6 - x)^2 \]

Раскрываем левую скобку:

\[ x^2 + 6x - 2x - 12 = (6 - x)^2 \] \[ x^2 + 4x - 12 = (6 - x)^2 \]

Раскрываем правую скобку:

\[ (6 - x)^2 = 36 - 12x + x^2 \]

Записываем уравнение:

\[ x^2 + 4x - 12 = 36 - 12x + x^2 \]

Сокращаем \(x^2\) по обе стороны:

\[ 4x - 12 = 36 - 12x \]

Переносим все члены на одну сторону:

\[ 4x + 12x = 36 + 12 \] \[ 16x = 48 \] \[ x = 3 \]

Это удовлетворяет области \(2 \leq x \leq 6\).

Шаг 6. Проверка решения в исходном уравнении:

\[ \sqrt{3 - 2} + \sqrt{3 + 6} = \sqrt{1} + \sqrt{9} = 1 + 3 = 4 \]

Совпадает с правой частью.

Ответ: \(\boxed{x=3}\).

---

5. \(\sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6\)

Шаг 1. Область определения:

• \(\sqrt{15 - x}\) определено при \(x \leq 15\).
• \(\sqrt{3 - x}\) определено при \(x \leq 3\).

Область: \(x \leq 3\).

Шаг 2. Перепишем уравнение:

\[ \sqrt{15 - x} + \sqrt{3 - x} = 6 \]

Поскольку оба радикала уменьшаются при увеличении \(x\) в области \(x \leq 3\), попробуем найти решение.

Шаг 3. Пусть \(a = \sqrt{15 - x}\), \(b = \sqrt{3 - x}\). Тогда:

\[ a + b = 6 \]

Из этих определений:

\[ a^2 = 15 - x \Rightarrow x = 15 - a^2 \] \[ b^2 = 3 - x \Rightarrow x = 3 - b^2 \]

Следовательно:

\[ 15 - a^2 = 3 - b^2 \] \[ 15 - 3 = a^2 - b^2 \] \[ 12 = a^2 - b^2 \]

Формула разницы квадратичных выражений:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

Известно, что \(a + b = 6\), значит:

\[ 12 = (a - b) \times 6 \] \[ a - b = \frac{12}{6} = 2 \]

Теперь у нас есть система:

\[ a + b = 6 \] \[ a - b = 2 \]

Решим ее:

Добавим обе:

\[ 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \]

Подставим в первое:

\[ 4 + b = 6 \Rightarrow b = 2 \]

Теперь находим \(x\):

\[ a^2 = 15 - x \Rightarrow 16 = 15 - x \Rightarrow x = -1 \] Проверка:

\[ b^2 = 3 - x \Rightarrow 4 = 3 -(-1) = 3 + 1 = 4 \]

Верно.

Проверка исходного уравнения:

\[ \sqrt{15 - (-1)} + \sqrt{3 - (-1)} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6 \]

Совпадает.

Область: \(x \leq 3\). Наше решение \(x = -1\) входит в эту область, значит — подходит.

---

Итог:

№	Решение	Ответ
1	\(x=1\)	\(\boxed{1}\)
2	\(x \approx 16.83\)	\(\boxed{16.83}\)
3	\(x=0\) и \(x=4\)	\(\boxed{0,\, 4}\)
4	\(x=3\)	\(\boxed{3}\)
5	\(x=-1\)	\(\boxed{-1}\)

Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение какого-то шага, пожалуйста, скажите!