Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9,10 и 11. Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10. Найдите длину…

Рассмотрим треугольник ABC, у которого стороны равны 9, 10 и 11. Внутри этого треугольника проведена окружность, касающаяся всех сторон (вписанная окружность). Обозначим:

• стороны: \( BC = 9 \), \( AC = 10 \), \( AB = 11 \).
• точка касания вписанной окружности с стороной \( BC \) — точка \( D \). Эта точка делит сторону \( BC \) на два отрезка: \( BD \) и \( DC \).

Нам нужно найти:

1. Наибольший из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10 (в данном случае — сторона \( AC \)).
2. Наименьший из этих отрезков.

Обратите внимание, что задание ввело немного путаницы: сторона \( AC = 10 \). Точка касания с этой стороной делит её на два отрезка, и именно их размеры необходимо найти.

---

Шаг 1. Найдём полуобъем и полупериметр треугольника

Обозначим стороны:

• \( a = BC = 9 \),
• \( b = AC = 10 \),
• \( c = AB = 11 \).

Полупериметр:
\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 11}{2} = \frac{30}{2} = 15. \]

---

Шаг 2. Найдём площадь треугольника

Используем формулу Герона:
\[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}. \]

Подставляем значения:
\[ S = \sqrt{15(15 - 9)(15 - 10)(15 - 11)} = \sqrt{15 \times 6 \times 5 \times 4}. \]

Посчитаем внутри корня:
\[ 15 \times 6 = 90, \quad 5 \times 4 = 20, \] \[ \Rightarrow S = \sqrt{90 \times 20} = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \times 2} = 30 \sqrt{2}. \]

---

Шаг 3. Найдём радиус вписанной окружности \( r \)

Радиус окружности:
\[ r = \frac{S}{s} = \frac{30 \sqrt{2}}{15} = 2 \sqrt{2}. \]

---

Шаг 4. Найдём длины отрезков, на которые точка касания делит сторону \( AC \)

Точка касания окружности со стороной делит её на два отрезка.
Обозначим:

• \( D \) — точка касания со стороной \( AC \),
• \( AD = x \),
• \( DC = y \),
• Итого \( x + y = AC = 10 \).

Из известных свойств вписанного круга:

• Отрезки, образованные точкой касания с каждой стороной, связаны с длинами сторон.

Важное свойство:
Если точка касания проведена на сторону, то отрезки, образованные точкой касания, равны полуразделам соответствующих сторон, связанных соваи сторонами треугольника по формуле:
\[ \text{Длина сегмента на стороне} = s - \text{противоположная сторона} \] или, точнее,
\[ x = s - a, \quad y = s - c, \] где \( a \) и \( c \) — стороны, прилежащие к точке касания.

Но в случае стороны \( AC \), мы рассматриваем, что точка касания делит сторону \( AC \) на два отрезка \( AD \) и \( DC \).
Поскольку \( AC = 10 \), и точка касания является внутренней точкой, то
\[ AD = s - c, \] \[ DC = s - b, \] где \( b = 10 \) — сторона, с которой связано деление.

Но это не корректный подход; правильнее использовать свойства:

Общая формула:

Пусть неопределенно:

• \( D \) — точка касания с \( AC \),
• Тогда длина отрезка \( AD = x \),
• , \( DC = 10 - x \).

Из теоретических свойств вписанной окружности (формулы для деления сторон):

\[ BD = s - b = 15 - 10 = 5, \] \[ DC = s - c = 15 - 11 = 4, \] \[ AF = s - a, \] и так далее, в зависимости от позиции точки касания.

Но нам важна сторона \( AC = 10 \), и существует правило для деления стороны точкой касания:

\[ \boxed{ \text{Длина отрезка, делённая точкой касания, равна } s - \text{противоположная сторона}. } \]

На конкретной стороне \( AC \), которая противоположна вершине \( B \), значит:

\[ \text{Длина } AD = s - b, \] \[ \text{Длина } DC = s - a, \] где \( b=10, a=9 \).

Заметим, что:

• \( s - a = 15 - 9 = 6 \),
• \( s - b = 15 - 10 = 5 \),
• \( s - c = 15 - 11 = 4 \).

---

Ответ:

• Наибольший отрезок, на который делит сторону \( AC=10 \):
  \(\boxed{6}\)

• Наименьший отрезок:
  \(\boxed{5}\)

---

Итог:

• Точка касания делит сторону 10 на два отрезка длиной: 6 и 4.
• Наибольший из них — 6.
• Наименьший — 4.

Ответ:
Наибольший отрезок — 6
Наименьший — 4