В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках H, G и F соответственно. Равс = 80 см, AH : HB = 2 : 5, CG = 5 см. Чему равна сторона АВ?

Давайте подробно разберемся с задачей. **Дано:** - В треугольнике \( ABC \) вписана окружность с центром \( O \). - Она касается сторон \( AB \), \( BC \), \( AC \) в точках \( H \), \( G \), \( F \) соответственно. - \( AB = \text{равс} = 80 \text{ см} \). - Отношение отрезков на стороне \( AB \): \( AH : HB = 2 : 5 \). - Длина отрезка \( CG = 5 \text{ см} \). Нужно найти сторону \( AB \). --- ### Шаг 1. Определение данных и условий Поскольку окружность вписана в треугольник, точки касания делят стороны на равные и связанные по свойствам палитральных точек. Отношение \( AH : HB = 2 : 5 \) показывает, как делится сторона \( AB \). Обозначим: - \( AH = 2k \), - \( HB = 5k \), - Тогда \( AB = AH + HB = 2k + 5k = 7k \). Но по условию \( AB = 80 \) см, следовательно: \[ 7k = 80 \Rightarrow k = \frac{80}{7} \approx 11.43 \text{ см} \] Итак, точки касания разделяют сторону \( AB \) на отрезки: - \( AH = 2k \approx 22.86 \text{ см} \), - \( HB = 5k \approx 71.43 \text{ см} \). --- ### Шаг 2. Свойства точек касания Обозначим: - \( AF, AE, BD, \) и т. п. – точки касания. - Важный факт: Точки касания делят стороны пропорционально смежным сторонам — это свойства внутренней вписанной окружности. В частности, касательная из одной точки к окружности равна для всех точек касания, исходящих из этой точки. Из этого следует: - \( AH = AF \) (так как \( H \) и \( F \) касаются \( AB \) и \( AC \), соответственно, и из свойства касательных из точки \( A \)), - Аналогично, \( AF = AE \), где \( E \) — точка касания \( AC \), \( D \) — касание \( BC \). Также, поскольку \( G \) — точка касания \( BC \), и \( CG = 5 \) см, эта длина связана с длинами касательных. --- ### Шаг 3. Связь с длинами сторон и касательных Для треугольника со вписанной окружностью выполнено: \[ AF = AE = s - a \] \[ BD = BG = s - b \] \[ CH = CF = s - c \] где \( s \) — полупериметр треугольника, а \( a, b, c \) — стороны \( BC, AC, AB \) соответственно. Так как \( AB = 80 \), то: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] Дано \( CG = 5 \text{ см} \). Обратим внимание на точку \( G \) — она расположена на \( BC \). Значит, \( BG = s - b \), а \( G \) — точка касания \( BC \). Также известно, что \( CG = 5 \text{ см} \). Поскольку \( G \) — точка касания \( BC \), то \( G \) делит \( BC \): \[ BG = s - b \] \[ GC = c - (s - b) = c - BG \] Но из условия \( CG = 5 \), следовательно: \[ c - (s - b) = 5 \] \[ \Rightarrow c - s + b = 5 \] --- ### Шаг 4. Выведение выражений для сторон Обозначим стороны: - \( AB = c = 80 \) см (по условию), - \( AC = b \), - \( BC = a \). Также, поскольку \( AH \) и \( HB \) связаны с касательными, и \( AH \) делит \( AB \): \[ AH = 2k \approx 22.86 \] \[ HB = 5k \approx 71.43 \] Обозначим \( AH = AF = 2k \), поскольку причастны к касательным из точки \( A \). Тогда сумма: \[ AB = AH + HB = 7k = 80 \text{ см} \] --- ### Шаг 5. Рассмотрение стороны \( BC \) Из уравнения: \[ c - s + b = 5, \] подставим \( c = 80 \): \[ 80 - s + b = 5, \] \[ b = 5 + s - 80 = s - 75. \] Итак: \[ b = s - 75. \] Теперь воспользуемся выражением для \( s \): \[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{a + b + 80}{2}. \] Подставим \( b = s - 75 \): \[ s = \frac{a + (s - 75) + 80}{2} \Rightarrow 2s = a + s - 75 + 80, \] \[ 2s = a + s + 5, \] \[ 2s - s = a + 5, \] \[ s = a + 5. \] --- ### Шаг 6. Выражение стороны \( a \) Поскольку \( s = a + 5 \), теперь выразим \( b \): \[ b = s - 75 = (a + 5) - 75 = a - 70. \] Значит, \( b = a - 70 \), и остальные стороны связаны: \[ a = BC, \] \[ b = AC, \] \[ c = AB = 80. \] --- ### Шаг 7. Итоговые выражения и подстановка Итак, у нас есть: - \( s = a + 5 \), - \( b = a - 70 \), - \( c = 80 \). Полупериметр \( s \) равен: \[ s = (a + (a - 70) + 80) / 2 = (2a + 10) / 2 = a + 5, \] что совпадает с предыдущим выражением. ### Шаг 8. Обратная проверка и вывод Говоря о длине \( CG = 5 \) см: \( G \) — точка касания \( BC \). Значит, \( BG = s - b \). Подставим выражения: \[ BG = s - b = (a + 5) - (a - 70) = a + 5 - a + 70 = 75. \] Но \( BG \) — длина от \( B \) до точки касания \( G \), а \( BC = a \). Поскольку \( BG = 75 \), а \( BC = a \): \[ a \geq BG = 75, \] но также \( BC \) — сторонa треугольника, и это разумно. --- ### **Ответ:** Мы нашли, что длина стороны \( AB \) равна **80 см**, что совпадает с заданным условием. **Поскольку** в задаче запрашивается **чему равна сторона \( AB \)**, правильный ответ: ### **\(\boxed{80 \text{ см}}\)** Если нужно еще дополнительно удостовериться, что все условия выполняются, можно ввести конкретные значения сторон и проверить треугольник, но исходя из данных и логики, ответ — **80 см**.