В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках H, G и F соответственно. Равс = 80 см, AH : HB = 2 : 5, CG = 5 см. Чему…
В треугольник АВС вписана окружность с центром в точке О. Окружность касается сторон АВ, ВС, АС в точках H, G и F соответственно. Равс = 80 см, AH : HB = 2 : 5, CG = 5 см. Чему равна сторона АВ?
Давайте подробно разберемся с задачей.
Дано:
- В треугольнике \( ABC \) вписана окружность с центром \( O \).
- Она касается сторон \( AB \), \( BC \), \( AC \) в точках \( H \), \( G \), \( F \) соответственно.
- \( AB = \text{равс} = 80 \text{ см} \).
- Отношение отрезков на стороне \( AB \): \( AH : HB = 2 : 5 \).
- Длина отрезка \( CG = 5 \text{ см} \).
Нужно найти сторону \( AB \).
Шаг 1. Определение данных и условий
Поскольку окружность вписана в треугольник, точки касания делят стороны на равные и связанные по свойствам палитральных точек.
Отношение \( AH : HB = 2 : 5 \) показывает, как делится сторона \( AB \).
Обозначим:
- \( AH = 2k \),
- \( HB = 5k \),
- Тогда \( AB = AH + HB = 2k + 5k = 7k \).
Но по условию \( AB = 80 \) см, следовательно: \[ 7k = 80 \Rightarrow k = \frac{80}{7} \approx 11.43 \text{ см} \]
Итак, точки касания разделяют сторону \( AB \) на отрезки:
- \( AH = 2k \approx 22.86 \text{ см} \),
- \( HB = 5k \approx 71.43 \text{ см} \).
Шаг 2. Свойства точек касания
Обозначим:
- \( AF, AE, BD, \) и т. п. – точки касания.
- Важный факт: Точки касания делят стороны пропорционально смежным сторонам — это свойства внутренней вписанной окружности.
В частности, касательная из одной точки к окружности равна для всех точек касания, исходящих из этой точки.
Из этого следует:
- \( AH = AF \) (так как \( H \) и \( F \) касаются \( AB \) и \( AC \), соответственно, и из свойства касательных из точки \( A \)),
- Аналогично, \( AF = AE \), где \( E \) — точка касания \( AC \), \( D \) — касание \( BC \).
Также, поскольку \( G \) — точка касания \( BC \), и \( CG = 5 \) см, эта длина связана с длинами касательных.
Шаг 3. Связь с длинами сторон и касательных
Для треугольника со вписанной окружностью выполнено:
\[ AF = AE = s - a \] \[ BD = BG = s - b \] \[ CH = CF = s - c \]
где \( s \) — полупериметр треугольника, а \( a, b, c \) — стороны \( BC, AC, AB \) соответственно.
Так как \( AB = 80 \), то: \[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
Дано \( CG = 5 \text{ см} \).
Обратим внимание на точку \( G \) — она расположена на \( BC \).
Значит, \( BG = s - b \), а \( G \) — точка касания \( BC \).
Также известно, что \( CG = 5 \text{ см} \).
Поскольку \( G \) — точка касания \( BC \), то \( G \) делит \( BC \):
\[ BG = s - b \] \[ GC = c - (s - b) = c - BG \]
Но из условия \( CG = 5 \), следовательно:
\[ c - (s - b) = 5 \] \[ \Rightarrow c - s + b = 5 \]
Шаг 4. Выведение выражений для сторон
Обозначим стороны:
- \( AB = c = 80 \) см (по условию),
- \( AC = b \),
- \( BC = a \).
Также, поскольку \( AH \) и \( HB \) связаны с касательными, и \( AH \) делит \( AB \):
\[ AH = 2k \approx 22.86 \] \[ HB = 5k \approx 71.43 \]
Обозначим \( AH = AF = 2k \), поскольку причастны к касательным из точки \( A \). Тогда сумма:
\[ AB = AH + HB = 7k = 80 \text{ см} \]
Шаг 5. Рассмотрение стороны \( BC \)
Из уравнения:
\[ c - s + b = 5, \] подставим \( c = 80 \):
\[ 80 - s + b = 5, \] \[ b = 5 + s - 80 = s - 75. \]
Итак:
\[ b = s - 75. \]
Теперь воспользуемся выражением для \( s \):
\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{a + b + 80}{2}. \]
Подставим \( b = s - 75 \):
\[ s = \frac{a + (s - 75) + 80}{2} \Rightarrow 2s = a + s - 75 + 80, \] \[ 2s = a + s + 5, \] \[ 2s - s = a + 5, \] \[ s = a + 5. \]
Шаг 6. Выражение стороны \( a \)
Поскольку \( s = a + 5 \), теперь выразим \( b \):
\[ b = s - 75 = (a + 5) - 75 = a - 70. \]
Значит, \( b = a - 70 \), и остальные стороны связаны:
\[ a = BC, \] \[ b = AC, \] \[ c = AB = 80. \]
Шаг 7. Итоговые выражения и подстановка
Итак, у нас есть:
- \( s = a + 5 \),
- \( b = a - 70 \),
- \( c = 80 \).
Полупериметр \( s \) равен:
\[ s = (a + (a - 70) + 80) / 2 = (2a + 10) / 2 = a + 5, \]
что совпадает с предыдущим выражением.
Шаг 8. Обратная проверка и вывод
Говоря о длине \( CG = 5 \) см:
\( G \) — точка касания \( BC \). Значит, \( BG = s - b \).
Подставим выражения:
\[ BG = s - b = (a + 5) - (a - 70) = a + 5 - a + 70 = 75. \]
Но \( BG \) — длина от \( B \) до точки касания \( G \), а \( BC = a \).
Поскольку \( BG = 75 \), а \( BC = a \):
\[ a \geq BG = 75, \]
но также \( BC \) — сторонa треугольника, и это разумно.
Ответ:
Мы нашли, что длина стороны \( AB \) равна 80 см, что совпадает с заданным условием.
Поскольку в задаче запрашивается чему равна сторона \( AB \), правильный ответ:
\(\boxed{80 \text{ см}}\)
Если нужно еще дополнительно удостовериться, что все условия выполняются, можно ввести конкретные значения сторон и проверить треугольник, но исходя из данных и логики, ответ — 80 см.
