В ряд стоят 67 школьников в футболках. При этом между любыми двумя школьниками в футболках с одинаковым рисунком стоит чётное количество школьников. Чему равно наименьшее возможное количество различных рисунков на футболках?

Рассмотрим задачу подробнее. Условие: - В ряду стоят 67 школьников в футболках. - Между любыми двумя школьниками в футболках с одинаковым рисунком стоит чётное число школьников. Цель: - Найти наименьшее возможное число различных рисунков на футболках. --- ### Анализ задачи: Обозначим: - \(k\) — количество различных рисунков. - Пусть для каждого рисунка есть \(n_i\) школьников, носящих его, где \(i = 1, 2, \dots, k\). - Тогда сумма всех \(n_i\) равна 67: \[ n_1 + n_2 + \dots + n_k = 67 \] --- ### Условие о расстоянии между одинаковыми рисунками: Для каждого рисунка, пусть его школьники расположены в ряду в соответствии с их положением. "Между любыми двумя школьниками с одинаковым рисунком стоит чётное число школьников". Это означает, что расстояние между позициями двух школьников с одинаковым рисунком — чётное число. Рассмотрим позицию школьника с этим рисунком как число \(p\); тогда: - Для двух школьников, у которых один и тот же рисунок, их позиции должны быть так присланы, что разница между позициями чётна. - В частности, это означает, что все школьники с одинаковым рисунком должны занимать одинаковую партицию позиций по паритету: все в чётных позициях или все в нечётных позициях. --- ### Вывод: **Для каждого рисунка:** - все школьники, носители этого рисунка, должны располагаться либо только на чётных позициях, либо только на нечётных позициях. Это важно, потому что: - Расположение школьников с одним рисунком на позициях одного типа (только чётных или только нечётных) гарантирует, что расстояние между любыми двумя одинаковыми рисунками — чётное число. --- ### Итог: Чтобы минимизировать число различных рисунков (\(k\)), необходимо перепланировать школьников так, чтобы максимально использовать паритетные позиции, а также чтобы сумма \(n_i\) не превосходила 67. --- ### Максимальное число школьников, которых можно разместить на позициях одного типа (чётных или нечётных): - В ряду из 67 школьников есть 33 чётных и 34 нечётных позиции. Поскольку всего позиций 67: - Чётных позиций: 33 - Нечётных позиций: 34 **Для каждого рисунка:** - можно полностью размесить его школьников только на одних позициях (чётных или нечётных). --- ### Минимизация количества рисунков: Поскольку у нас есть 67 школьников, и мы можем разместить всех школьников с одинаковым рисунком на позициях только одного типа, чтобы разница между двумя одинаковыми — чётная, то: - Максимальное число школьников, которые можно разместить на одних позициях (например, все в нечётных позициях): 34 - Аналогично, на чётных — 33. **Чтобы минимизировать количество рисунков**, нужно попытаться разместить как можно больше школьников с одним рисунком, следовательно: - Если все школьники одного рисунка помещаются на 34 позициях (например, все на нечётных), то они могут быть все в одной группе. Общий план: - Разделить всех школьников на как можно меньше групп по рисункам, где каждая группа — это школьники, расположенные только на позициях одного типа (чётных или нечётных). --- ### Расчёт: - Максимальное число школьников, которые можно разместить с одним рисунком, — 34 (на нечётных позициях). - Тогда, остаётся разместить остальных \(67 - 34 = 33\) школьников. - Следовательно, для оставшихся 33 школьников потребуется как минимум ещё один рисунок (который можно расположить на чётных позициях, их ровно 33). Обратите внимание, что для каждого рисунка, расположенного только на одной паритете, все его участники делятся на две группы — те, кто на чётных позициях, и те, кто на нечётных. ### Итог: - Можно: разместить 34 школьника в одной группе (например, на нечётных позициях). - Оставшиеся 33 — в другую группу (на чётных позициях). Общее число рисунков: \[ k = 2 \] Поскольку 67 — нечётное число, и нужно минимизировать число рисунков, то оптимально: - Один рисунок — для 34 школьников (на нечётных позициях); - Другой рисунок — для 33 школьников (на чётных позициях). --- ### **Ответ:** **Наименьшее возможное число различных рисунков равно 2.** --- Если вам нужен более развернутый ответ или есть дополнительные вопросы — сообщайте!