5. Поезд движется по закруглению радиусом R = 300 м со скоростью, модуль которой v= 50км/ч , при расстоянии между рельсами l= 1,5 м. Давление на боковую поверхность рельсов…
5. Поезд движется по закруглению радиусом R = 300 м со скоростью, модуль которой v= 50км/ч , при расстоянии между рельсами l= 1,5 м. Давление на боковую поверхность рельсов отсутствует. Найдите высоту h, на которую наружный рельс следует приподнять по отношению к внутреннему, чтобы давление на рельсы было одинаковым.
Рассмотрим задачу о равномерном движении по кривой с радиусом R и о том, как правильно поднять наружный рельс, чтобы давление на оба рельса было одинаковым. Нужно найти высоту подъема \(h\).
Дано:
- Радиус кривой \( R = 300\,\text{м} \)
- Скорость поезда \( v = 50\,\text{км/ч} \)
- Расстояние между рельсами \( l = 1.5\,\text{м} \)
Условие:
- Давление на боковые поверхности рельсов отсутствует.
- Требуется определить высоту \(h\), на которую нужно поднять наружный рельс, чтобы давление было одинаковым.
Шаг 1: Перевод скоростных данных в стандартные единицы
Так как формулы часто используют скорость в м/с:
\[ v = 50\,\text{км/ч} = \frac{50 \times 1000\,\text{м}}{3600\,\text{с}} \approx 13.89\,\text{м/с} \]
Шаг 2: Вычисление центробежной силы
При движении по кривой у поезда возникает центробежная сила:
\[ F_c = \frac{m v^2}{R} \]
Где:
- \(m\) — масса поезда (учитывать в дальнейшем не обязательно, так как давление крутится о силе, а не о массе, в итоговых соотношениях она сократится).
Шаг 3: Давление на рельсы из-за центробежной силы
Рассмотрим, как давление влияет на рельс в горизонтальной плоскости.
- Центробежная сила действует на боковых поверхностях рельса.
- Чтобы избежать давления (отсутствие давления на боковые поверхности), наружный рельс должен быть поднят таким образом, чтобы силовые моменты были сбалансированы.
Предположим:
- Верхняя часть рельса наклонена под углом \( \theta \). Тогда с помощью поднимающегося рельса создается реактивное усилие, перпендикулярное силе давления, и уравниваются моменты.
Шаг 4: Связь между высотой \( h \) и углом \( \theta \)
Когда рельс поднимают на высоту \( h \) над внутренним, образуется небольшой угол:
\[ \tan \theta \approx \frac{h}{l} \]
- \( h \) — высота подъема наружного рельса.
- \( l = 1.5\,\text{м} \)
Для небольших углов \( \theta \):
\[ \sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{h}{l} \]
Шаг 5: Вычисление давления
Для равенства давления действие сил можно представить в виде:
\[ P_{страна} = \frac{m v^2}{l} \]
Но более точно — это соотношение центробежных сил и реакции рельса, учитывая наклон.
Если предположить, что реакция рельса создает сопротивление силе:
\[ h = \frac{l \cdot v^2}{g R} \]
где:
- \( g \) — ускорение свободного падения \( \approx 9.8\,\text{м/с}^2 \).
Этот вывод основан на равновесии сил и моментов, при котором давление уравновешивается за счет наклона.
Шаг 6: Подставим числовые значения
\[ h = \frac{l \cdot v^2}{g R} = \frac{1.5 \times (13.89)^2}{9.8 \times 300} \]
Вычислим числитель:
\[ 1.5 \times (13.89)^2 \approx 1.5 \times 192.9 \approx 289.35 \]
Теперь делим:
\[ h \approx \frac{289.35}{9.8 \times 300} = \frac{289.35}{2940} \approx 0.098\,\text{м} \]
или примерно
\[ h \approx 9.8\,\textсм \]
Итог:
Нужно поднять наружный рельс примерно на 0.1 м (10 см), чтобы давление на рельсы было одинаковым при движении по кривой радиуса 300 м со скоростью 50 км/ч.
Если нужны дополнительные разъяснения или уточнения, я готов помочь!
