Рассмотрим задачу о равномерном движении по кривой с радиусом R и о том, как правильно поднять наружный рельс, чтобы давление на оба рельса было одинаковым. Нужно найти высоту подъема (h).
Дано:
- Радиус кривой ( R = 300,\text{м} )
- Скорость поезда ( v = 50,\text{км/ч} )
- Расстояние между рельсами ( l = 1.5,\text{м} )
Условие:
- Давление на боковые поверхности рельсов отсутствует.
- Требуется определить высоту (h), на которую нужно поднять наружный рельс, чтобы давление было одинаковым.
Шаг 1: Перевод скоростных данных в стандартные единицы
Так как формулы часто используют скорость в м/с:
[
v = 50,\text{км/ч} = \frac{50 \times 1000,\text{м}}{3600,\text{с}} \approx 13.89,\text{м/с}
]
Шаг 2: Вычисление центробежной силы
При движении по кривой у поезда возникает центробежная сила:
[
F_c = \frac{m v^2}{R}
]
Где:
- (m) — масса поезда (учитывать в дальнейшем не обязательно, так как давление крутится о силе, а не о массе, в итоговых соотношениях она сократится).
Шаг 3: Давление на рельсы из-за центробежной силы
Рассмотрим, как давление влияет на рельс в горизонтальной плоскости.
- Центробежная сила действует на боковых поверхностях рельса.
- Чтобы избежать давления (отсутствие давления на боковые поверхности), наружный рельс должен быть поднят таким образом, чтобы силовые моменты были сбалансированы.
Предположим:
- Верхняя часть рельса наклонена под углом ( \theta ). Тогда с помощью поднимающегося рельса создается реактивное усилие, перпендикулярное силе давления, и уравниваются моменты.
Шаг 4: Связь между высотой ( h ) и углом ( \theta )
Когда рельс поднимают на высоту ( h ) над внутренним, образуется небольшой угол:
[
\tan \theta \approx \frac{h}{l}
]
- ( h ) — высота подъема наружного рельса.
- ( l = 1.5,\text{м} )
Для небольших углов ( \theta ):
[
\sin \theta \approx \tan \theta \approx \frac{h}{l}
]
Шаг 5: Вычисление давления
Для равенства давления действие сил можно представить в виде:
[
P_{страна} = \frac{m v^2}{l}
]
Но более точно — это соотношение центробежных сил и реакции рельса, учитывая наклон.
Если предположить, что реакция рельса создает сопротивление силе:
[
h = \frac{l \cdot v^2}{g R}
]
где:
- ( g ) — ускорение свободного падения ( \approx 9.8,\text{м/с}^2 ).
Этот вывод основан на равновесии сил и моментов, при котором давление уравновешивается за счет наклона.
Шаг 6: Подставим числовые значения
[
h = \frac{l \cdot v^2}{g R} = \frac{1.5 \times (13.89)^2}{9.8 \times 300}
]
Вычислим числитель:
[
1.5 \times (13.89)^2 \approx 1.5 \times 192.9 \approx 289.35
]
Теперь делим:
[
h \approx \frac{289.35}{9.8 \times 300} = \frac{289.35}{2940} \approx 0.098,\text{м}
]
или примерно
[
h \approx 9.8,\textсм
]
Итог:
Нужно поднять наружный рельс примерно на 0.1 м (10 см), чтобы давление на рельсы было одинаковым при движении по кривой радиуса 300 м со скоростью 50 км/ч.
Если нужны дополнительные разъяснения или уточнения, я готов помочь!
