Производное функции y=(x-cos x)*sin x равна?
Давайте найдём производную функции \( y = (x - \cos x) \cdot \sin x \).
Так как у нас произведение двух функций, применим правило дифференцирования произведения:
\[
(uv)' = u'v + uv'
\]
Обозначим:
\( u = x - \cos x \)
\( v = \sin x \)
Теперь найдём их производные:
Производная \( u \):
\[ u' = \frac{d}{dx}(x - \cos x) = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x \]Производная \( v \):
\[ v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
Теперь по формуле произведения:
\[
y' = u'v + uv'
\]
Подставим найденные выражения:
\[
y' = (1 + \sin x) \cdot \sin x + (x - \cos x) \cdot \cos x
\]
Рассмотрим каждую часть отдельно:
Первая часть:
\[ (1 + \sin x) \sin x = \sin x + \sin^2 x \]Вторая часть:
\[ (x - \cos x) \cos x = x \cos x - \cos^2 x \]
Объединим результат:
\[
y' = \sin x + \sin^2 x + x \cos x - \cos^2 x
\]
Ответ:
\[
\boxed{
\frac{dy}{dx} = \sin x + \sin^2 x + x \cos x - \cos^2 x
}
\]
