Производное функции y=(x-cos x)*sin x равна?

Давайте найдём производную функции \( y = (x - \cos x) \cdot \sin x \). Так как у нас произведение двух функций, применим правило дифференцирования произведения: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Обозначим: \( u = x - \cos x \) \( v = \sin x \) Теперь найдём их производные: 1. **Производная \( u \):** \[ u' = \frac{d}{dx}(x - \cos x) = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x \] 2. **Производная \( v \):** \[ v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \] Теперь по формуле произведения: \[ y' = u'v + uv' \] Подставим найденные выражения: \[ y' = (1 + \sin x) \cdot \sin x + (x - \cos x) \cdot \cos x \] Рассмотрим каждую часть отдельно: - Первая часть: \[ (1 + \sin x) \sin x = \sin x + \sin^2 x \] - Вторая часть: \[ (x - \cos x) \cos x = x \cos x - \cos^2 x \] Объединим результат: \[ y' = \sin x + \sin^2 x + x \cos x - \cos^2 x \] **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{dy}{dx} = \sin x + \sin^2 x + x \cos x - \cos^2 x } \]