Давайте решим каждую задачу по порядку, подробно объясняя каждый шаг.
Задача 1
В многоквартирном доме 150 квартир. Известно, что во всех подъездах дома одинаковое число этажей и на любом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир (больше одной). Сколько этажей в этом доме, если число квартир на каждом этаже в подъезде в 2 раза меньше числа этажей в доме?
Обозначения:
- Пусть ( E ) — число этажей в доме.
- Пусть ( n ) — число подъездов.
- Пусть ( k ) — число квартир на этаж в подъезде.
Дано:
- Общее число квартир: ( 150 )
- В каждом подъезде одинаковое число этажей: ( E )
- На любом этаже каждого подъезда одинаковое число квартир: ( k )
- ( k ) больше 1
- Число квартир на этаже в подъезде в 2 раза меньше числа этажей в доме:
[
k = \frac{E}{2}
]
Общий объём квартир:
[
150 = n \times E \times k
]
Подставим ( k = \frac{E}{2} ):
[
150 = n \times E \times \frac{E}{2} = n \times \frac{E^2}{2}
]
Из этого:
[
150 = \frac{n E^2}{2}
]
Умножим обе части на 2:
[
300 = n E^2
]
Поскольку ( n ) — целое число, также ( E ) — целое число больше 1.
Из уравнение:
[
n = \frac{300}{E^2}
]
Требование: ( n ) — целое число, значит ( E^2 ) — делитель 300.
Рассмотрим делители 300, у которых квадрат — целое число и делит 300.
Квадраты делителей 300:
- ( E^2 ) должно делить 300, итого ( E^2 \mid 300 ).
Факторизация 300:
[
300 = 2^2 \times 3 \times 5^2
]
Рассмотрим возможные квадраты, делящие 300:
- ( E^2 = 1 ) (E=1) — тогда ( n=300/1=300 ), допустимо, ( E=1 ), однако по условию ( E>1 ).
- ( E^2 = 4 ) (E=2):
[
n = 300/4 = 75 \quad \text{ — целое}
]
подходит, при ( E=2 ), ( k = E/2=1 ). Но условие: "на любом этаже — одинаковое число квартир (больше одной)", значит ( k>1 ). Значит, E=2 не подходит.
- ( E^2=25 ) (E=5):
[
n=300/25=12 \quad \text{ — целое}
]
( E=5 ), тогда ( k=E/2=2.5 ). Не целое — не подходит.
- ( E^2=100 ) (E=10):
[
n=300/100=3 \quad \text{— целое}
]
Тогда ( E=10 ), и ( k=E/2=5 ), что больше 1 — подходит.
Проверка:
[
150= n \times E \times k=3 \times 10 \times 5=150
]
Всё корректно, условие выполнено.
Ответ:
[
\boxed{10}
]
Задача 2
В 6 «А» классе учится 30 человек, что на 7 человек больше, чем в 6 «В» классе. А в 6 «Б» классе учеников на 20 % меньше, чем в 6 «А». Сколько всего учеников в этих трёх классах?
Обозначения:
- 6 «А»: ( 30 )
- 6 «В»: ( x )
- 6 «Б»: ( y )
Из данных:
[
30 = x + 7 \Rightarrow x = 30 - 7 = 23
]
В классе 6 «Б» учеников на 20 % меньше, чем в 6 «А»:
[
y = 30 - 20% \text{ от } 30
]
20 % от 30:
[
0.2 \times 30 = 6
]
Следовательно:
[
y = 30 - 6 = 24
]
Общее число учеников:
[
30 + 23 + 24 = 77
]
Ответ:
[
\boxed{77}
]
Задача 3
Задумали двузначное число, которое кратно 10. Если цифру десятков увеличить в 3 раза, то число увеличится на 20. Какое число было задумано?
Обозначим:
- Десятки: ( x )
- Единицы: ( y )
Так как число кратно 10, значит ( y=0 ).
Изначально число:
[
10x
]
Условие: "Если цифру десятков увеличить в 3 раза, то число увеличится на 20".
При увеличении цифры десятков в 3 раза новое число:
[
10 \times (3x) + y
]
Поскольку ( y=0 ):
[
30x
]
Разница между новым и старым числом:
[
30x - 10x = 20
]
[
20x = 20
]
[
x=1
]
Изначальное число:
[
10 \times 1 = 10
]
Проверка:
- Цифра десятков: 1
- Увеличим её в 3 раза: 3
- Новое число: 30
- Разница: (30 - 10=20). Всё соответствует.
Ответ:
[
\boxed{10}
]
Если нужно, я могу помочь с любыми другими задачами!
