Точки А (4;5) и С(-2;-1) являются противоположными и вершинами квадрата ABCD. найдите координаты остальных вершин координат точки которая делит сторону BC пополам

Давайте разберём задачу подробно. **Дано:** - Точка A с координатами \( (4, 5) \). - Точка C с координатами \( (-2, -1) \). - Точки A и C — противоположные вершины квадрата \( ABCD \). - Необходимо найти координаты точки, которая делит сторону \( BC \) пополам. --- ### Шаг 1. Определим координаты точки \( B \) и \( D \) Поскольку \( A \) и \( C \) — противоположные вершины квадрата, они лежат на диагонали квадрата. **Диагональ квадрата — это отрезок \( AC \).** Координаты середины диагонали \( O \) можно найти как: \[ O_x = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ O_y = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] **Значит, середина диагонали \( AC \) — точка \( O(1, 2) \).** --- ### Шаг 2. Найдём сторону квадрата \( ABCD \) Квадрат — это четырёхугольник с равными сторонами и 90° углами. **Порядок последовательности вершин (по условию):** - \( A(4, 5) \), - \( C(-2, -1) \), - между которыми лежит диагональ. Диагональ мы нашли: \( A C \), и она делит квадрат на 2 равных треугольника. --- ### Шаг 3. Найдем точки \( B \) и \( D \) Чтобы найти оставшиеся вершины квадрата, нужно понять, где располагаются \( B \) и \( D \). Известно, что \( A \) и \( C \) — противоположные вершины, а диагональ в квадрате — это отрезок, соединяющий противоположные вершины, при этом \( A C \) — диагональ. Ясно, что \( B \) и \( D \) располагаются так, чтобы образовать квадрат, где \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) идут по порядку. **Интересно заметить:** - Вектор \( \overrightarrow{A C} \): \[ \vec{A C} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-2 - 4, -1 - 5) = (-6, -6) \] - Вектор, соединяющий \( A \) с \( B \) или \( D \), перпендикулярен \( \overrightarrow{A C} \), потому что стороны квадрата перпендикулярны диагоналям (диагональ делит квадрат пополам по диагонали). --- ### Шаг 4. Найдём точки \( B \) и \( D \) с помощью вектора Поскольку \( \overrightarrow{A C} = (-6, -6) \), то половина этого вектора: \[ \frac{1}{2} \overrightarrow{A C} = (-3, -3) \] Диагональ квадрата делит его на два равных треугольника. Чтобы найти вершины \( B \) и \( D \), нужно повернуть вектор \( \overrightarrow{A C} \) на 90° и применить его к точкам, чтобы получить перпендикулярные стороны. **Повернём вектор \( (-6, -6) \) на 90° по часовой стрелке:** Поворот на 90° по часовой: \[ (x, y) \to (y, -x) \] Следовательно, \[ (-6, -6) \to (-6, 6) \] Аналогично, для другого вектора: \[ (-6, 6) \to (-6, -6) \] Таким образом, стороны квадрата, исходя из вектора \( \vec{A C} \), будут направлены в эти направления. --- ### Шаг 5. Находим точки \( D \) и \( B \) - \( D \) находится, прибавляя вектор \( \frac{1}{2}\overrightarrow{A C} \) к \( A \): \[ D = A + \frac{1}{2} \overrightarrow{A C} = (4, 5) + (-3, -3) = (1, 2) \] - \( B \) находится, прибавляя другой вектор: \[ B = A + \left( \text{поворот вектора } \overrightarrow{A C} \text{ на 90°} \right) \] То есть, другой вектор: \[ (6, -6) \] Применяя к \( A \): \[ B = (4, 5) + (6, -6) = (10, -1) \] --- ### Итоговые координаты вершин квадрата: - \( A(4, 5) \), - \( B(10, -1) \), - \( C(-2, -1) \), - \( D(1, 2) \). --- ### Шаг 6. Находим координаты точки \( M \), которая делит сторону \( BC \) пополам Площадь \( BC \): - \( B(10, -1) \), - \( C(-2, -1) \). Средняя точка \( M \): \[ x_M = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{10 + (-2)}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ y_M = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-1 + (-1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Координаты точки делителя } M \text{:} \quad (4, -1) } \] --- Если есть ещё вопросы или нужна помощь — обращайтесь!