чему равна сумма арифметической прогрессии из 13 членов, если седьмой член равен 5,2
Давайте решим задачу по шагам.
Задача: найти сумму арифметической прогрессии из 13 членов, если седьмой член равен 5,2.
Обозначим:
- Первый член прогрессии — \( a_1 \),
- Общий разност — \( d \),
- Количество членов — \( n = 13 \),
- Член с номером \( n \) — \( a_n \).
Дано:
- \( a_7 = 5,2 \).
Шаг 1: Запишем формулу для \( n \)-ого члена арифметической прогрессии:
\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]
Для седьмого члена:
\[ a_7 = a_1 + 6d = 5,2 \]
Шаг 2: Запишем выражение для суммы первых \( n \) членов:
\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
Нам нужно найти:
\[ S_{13} = \frac{13}{2}(a_1 + a_{13}) \]
Но в этом выражении нужно знать \( a_1 \) и \( a_{13} \).
Шаг 3: Найдём \( a_{13} \):
\[ a_{13} = a_1 + 12d \]
Также из уравнения для \( a_7 \):
\[ a_1 = 5,2 - 6d \]
Подставляем в выражение для \( a_{13} \):
\[ a_{13} = (5,2 - 6d) + 12d = 5,2 + 6d \]
Шаг 4: Выражаем сумму \( S_{13} \):
\[ S_{13} = \frac{13}{2} (a_1 + a_{13}) = \frac{13}{2} \left( (5,2 - 6d) + (5,2 + 6d) \right) \]
Объединим внутри скобок:
\[ a_1 + a_{13} = (5,2 - 6d) + (5,2 + 6d) = 5,2 + 5,2 + (-6d + 6d) = 10,4 + 0 = 10,4 \]
Интересно, что \( d \) исчезает! Это означает, что сумма не зависит от разности \( d \), и она находится однозначно.
Шаг 5: Посчитаем сумму:
\[ S_{13} = \frac{13}{2} \times 10,4 = 6,5 \times 10,4 \]
Произведение:
\[ 6,5 \times 10,4 = (6 + 0,5) \times 10,4 = 6 \times 10,4 + 0,5 \times 10,4 \]
Вычислим каждое слагаемое:
- \( 6 \times 10,4 = 62,4 \)
- \( 0,5 \times 10,4 = 5,2 \)
Итого:
\[ 62,4 + 5,2 = 67,6 \]
Ответ:
Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии при данном условии равна 67,6.
