Давайте решим задачу по шагам.
Задача: найти сумму арифметической прогрессии из 13 членов, если седьмой член равен 5,2.
Обозначим:
- Первый член прогрессии — ( a_1 ),
- Общий разност — ( d ),
- Количество членов — ( n = 13 ),
- Член с номером ( n ) — ( a_n ).
Дано:
Шаг 1: Запишем формулу для ( n )-ого члена арифметической прогрессии:
[
a_n = a_1 + (n - 1)d
]
Для седьмого члена:
[
a_7 = a_1 + 6d = 5,2
]
Шаг 2: Запишем выражение для суммы первых ( n ) членов:
[
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
]
Нам нужно найти:
[
S_{13} = \frac{13}{2}(a_1 + a_{13})
]
Но в этом выражении нужно знать ( a_1 ) и ( a_{13} ).
Шаг 3: Найдём ( a_{13} ):
[
a_{13} = a_1 + 12d
]
Также из уравнения для ( a_7 ):
[
a_1 = 5,2 - 6d
]
Подставляем в выражение для ( a_{13} ):
[
a_{13} = (5,2 - 6d) + 12d = 5,2 + 6d
]
Шаг 4: Выражаем сумму ( S_{13} ):
[
S_{13} = \frac{13}{2} (a_1 + a_{13}) = \frac{13}{2} \left( (5,2 - 6d) + (5,2 + 6d) \right)
]
Объединим внутри скобок:
[
a_1 + a_{13} = (5,2 - 6d) + (5,2 + 6d) = 5,2 + 5,2 + (-6d + 6d) = 10,4 + 0 = 10,4
]
Интересно, что ( d ) исчезает! Это означает, что сумма не зависит от разности ( d ), и она находится однозначно.
Шаг 5: Посчитаем сумму:
[
S_{13} = \frac{13}{2} \times 10,4 = 6,5 \times 10,4
]
Произведение:
[
6,5 \times 10,4 = (6 + 0,5) \times 10,4 = 6 \times 10,4 + 0,5 \times 10,4
]
Вычислим каждое слагаемое:
- ( 6 \times 10,4 = 62,4 )
- ( 0,5 \times 10,4 = 5,2 )
Итого:
[
62,4 + 5,2 = 67,6
]
Ответ:
Сумма первых 13 членов арифметической прогрессии при данном условии равна 67,6.
