Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дана:
Треугольник с сторонами длиной 9, 10 и 11. Внутри него располагается вписанная окружность, которая касается всех сторон. Точка касания окружности с одной из сторон, равной 10, делит её на два отрезка. Нам нужно найти:
- Длину наибольшего из этих двух отрезков.
- Длину наименьшего из этих двух отрезков.
Шаг 1: Обозначения и общие свойства
Обозначим треугольник как ABC, где стороны:
- ( AB = 9 )
- ( BC = 10 )
- ( AC = 11 )
Пусть точка касания окружности к стороне ( BC ) делит её на отрезки ( BD ) и ( DC ), где ( D ) — точка касания.
Шаг 2: Свойства вписанной окружности
Пусть ( r ) — радиус вписанной окружности.
Пусть ( s ) — полупериметр треугольника:
[
s = \frac{9 + 10 + 11}{2} = \frac{30}{2} = 15.
]
Площадь треугольника ( S ) можно найти по формуле Герона:
[
S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.
]
Подставим значения:
[
S = \sqrt{15 \times (15 - 9) \times (15 - 10) \times (15 - 11)} = \sqrt{15 \times 6 \times 5 \times 4}.]
Рассчитаем:
[
15 \times 6 = 90, \quad
90 \times 5 = 450, \quad
450 \times 4 = 1800.
]
Значит:
[
S = \sqrt{1800} = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \times 2} = 30 \sqrt{2}.
]
Шаг 3: Радиус вписанной окружности
Радиус ( r ) находится по формуле:
[
r = \frac{S}{s} = \frac{30 \sqrt{2}}{15} = 2 \sqrt{2}.
]
Шаг 4: Свойства точек касания
Точка касания делит сторону ( BC ) на отрезки ( BD ) и ( DC ).
- Из теоремы о вписанной окружности:
Отрезки, на которые точка касания делит стороны, равны полуразделам суммы сторон, исключая ту сторону, к которой оно касается.
- Для стороны ( BC ):
[
BD = s - c, \quad DC = s - b,
]
где ( b = AC = 11 ), ( c = AB = 9 ).
Подставим:
[
BD = 15 - 11 = 4,
]
[
DC = 15 - 9 = 6.
]
Ответы:
- Наибольший из отрезков: ( \boxed{6} )
- Наименьший из отрезков: ( \boxed{4} )
Итог:
Точка касания делит сторону длиной 10 на два отрезка длиной 4 и 6.
Наибольший — 6, наименьший — 4.
