Окружность касается сторон треугольника, длины которых равны 9,10 и 11.Найдите длину наибольшего из отрезков, на которые точка касания делит сторону, равную 10.Найдите длину…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дана:
Треугольник с сторонами длиной 9, 10 и 11. Внутри него располагается вписанная окружность, которая касается всех сторон. Точка касания окружности с одной из сторон, равной 10, делит её на два отрезка. Нам нужно найти:

1. Длину наибольшего из этих двух отрезков.
2. Длину наименьшего из этих двух отрезков.

Шаг 1: Обозначения и общие свойства

Обозначим треугольник как ABC, где стороны:

• \( AB = 9 \)
• \( BC = 10 \)
• \( AC = 11 \)

Пусть точка касания окружности к стороне \( BC \) делит её на отрезки \( BD \) и \( DC \), где \( D \) — точка касания.

Шаг 2: Свойства вписанной окружности

• Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности.

• Пусть \( s \) — полупериметр треугольника:
  \[ s = \frac{9 + 10 + 11}{2} = \frac{30}{2} = 15. \]

• Площадь треугольника \( S \) можно найти по формуле Герона:
  \[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}. \]

Подставим значения:
\[ S = \sqrt{15 \times (15 - 9) \times (15 - 10) \times (15 - 11)} = \sqrt{15 \times 6 \times 5 \times 4}.\]

Рассчитаем:
\[ 15 \times 6 = 90, \quad 90 \times 5 = 450, \quad 450 \times 4 = 1800. \]

Значит:
\[ S = \sqrt{1800} = \sqrt{1800} = \sqrt{900 \times 2} = 30 \sqrt{2}. \]

Шаг 3: Радиус вписанной окружности

Радиус \( r \) находится по формуле:
\[ r = \frac{S}{s} = \frac{30 \sqrt{2}}{15} = 2 \sqrt{2}. \]

Шаг 4: Свойства точек касания

Точка касания делит сторону \( BC \) на отрезки \( BD \) и \( DC \).

• Из теоремы о вписанной окружности:

Отрезки, на которые точка касания делит стороны, равны полуразделам суммы сторон, исключая ту сторону, к которой оно касается.

• Для стороны \( BC \):
  \[ BD = s - c, \quad DC = s - b, \] где \( b = AC = 11 \), \( c = AB = 9 \).

Подставим:
\[ BD = 15 - 11 = 4, \] \[ DC = 15 - 9 = 6. \]

Ответы:

• Наибольший из отрезков: \( \boxed{6} \)
• Наименьший из отрезков: \( \boxed{4} \)

Итог:

Точка касания делит сторону длиной 10 на два отрезка длиной 4 и 6.
Наибольший — 6, наименьший — 4.