Рассмотрим задачу: в прямоугольном треугольнике ( ABC ) вписана окружность радиуса 2 см. Известно, что сумма катетов равна 14 см, и нам нужно найти длину гипотенузы ( AB ), а также площадь треугольника.
Обозначим:
- Катеты: ( AC = a ), ( BC = b ),
- Гипотенуза: ( AB = c ).
Из условия:
[
a + b = 14 \quad (1)
]
Также, так как треугольник прямой, по теореме Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2 \quad (2)
]
Итак, нам нужно найти ( c ) и площадь треугольника.
Шаг 1. Используем формулу радиуса вписанной окружности для прямого треугольника:
Радиус вписанной окружности в прямой треугольник равен:
[
r = \frac{a + b - c}{2}
]
Из условия:
[
r = 2 \ \text{см}
]
Тогда:
[
2 = \frac{a + b - c}{2} \implies 4 = a + b - c
]
Но из (1):
[
a + b = 14 \implies 14 - c = 4 \implies c = 14 - 4 = 10
]
Итак, гипотенуза ( c = 10 ) см.
Шаг 2. Найдем катеты ( a ) и ( b ).
Из теоремы Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2 = 100
]
и из (1):
[
a + b = 14
]
Выразим ( b ) через ( a ):
[
b = 14 - a
]
Подставим в уравнение Пифагора:
[
a^2 + (14 - a)^2 = 100
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100
]
Объединим похожие:
[
2a^2 - 28a + 196 = 100
]
Перенесем 100 в левую сторону:
[
2a^2 - 28a + 96 = 0
]
Деленеем всю уравнение на 2:
[
a^2 - 14a + 48 = 0
]
Это квадратное уравнение, решим его:
[
a^2 - 14a + 48 = 0
]
Найдем дискриминант:
[
D = (-14)^2 - 4 \times 1 \times 48 = 196 - 192 = 4
]
Корни:
[
a = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2}
]
Варианты:
- ( a = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8 )
- ( a = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6 )
Соответственно, катеты:
- ( a = 8 ), тогда ( b = 14 - 8 = 6 ),
- или ( a = 6 ), тогда ( b = 14 - 6 = 8 ).
Итак, катеты равны 6 см и 8 см.
Шаг 3. Нахождение площади треугольника.
Площадь прямого треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24
]
Итог:
- Гипотенуза ( AB = c = 10 ) см.
- Площадь треугольника ( S = 24 \text{ см}^2 ).
Если нужно, я могу подготовить ответ структурировано или пояснить любой из шагов подробнее!
