(x ^ 2 + 2x - 3)/(x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x - 6) = 0 реши через формулы сокращ умножения
Давайте подробно решим уравнение:
\[ \frac{x^2 + 2x - 3}{x^3 + 2x^2 + 3x - 6} = 0 \]
Цель — найти все значения \(x\), при которых это равенство выполняется.
Шаг 1: Анализ уравнения
Чтобы дробное выражение было равно нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — отличен от нуля:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \quad \text{и} \quad x^3 + 2x^2 + 3x - 6 \neq 0 \]
Шаг 2: Решение уравнения числителя
Рассмотрим уравнение:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Используем формулы или метод разложения на множители.
- Найдём два числа, которые в сумме дают 2 и при умножении дают -3.
Это числа 3 и -1, так как:
\[ 3 + (-1) = 2 \quad \text{и} \quad 3 \times (-1) = -3 \]
Следовательно, разложение на множители:
\[ x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) = 0 \]
Решения для числителя:
\[ x + 3 = 0 \implies x = -3 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
Шаг 3: Проверка знаменателя
Теперь необходимо проверить, чтобы эти значения не обращались в ноль в знаменателе.
Рассмотрим оба значения:
- Для \(x = -3\):
\[ x^3 + 2x^2 + 3x - 6 \] подставим \(-3\):
\[ (-3)^3 + 2(-3)^2 + 3(-3) - 6 = -27 + 2 \times 9 - 9 - 6 \] \[ = -27 + 18 - 9 - 6 = (-27 + 18) - (9 + 6) = -9 - 15 = -24 \neq 0 \]
Значит, для \(x = -3\), знаменатель не равен нулю, и это решение подходит.
- Для \(x=1\):
\[ 1^3 + 2 \times 1^2 + 3 \times 1 - 6 = 1 + 2 - 6 + 3 - 6 \] (Проверим аккуратно):
\[ 1 + 2 + 3 - 6 = (1 + 2 + 3) - 6 = 6 - 6 = 0 \]
Значит, знаменатель равен нулю при \(x = 1\). Поэтому это значение исключается, так как деление на ноль недопустимо.
Ответ:
\[ \boxed{ x = -3 } \]
Это единственное решение уравнения.
Если нужно, могу помочь с более подробными объяснениями или проверить другие типы решений!
