Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Давайте разберёмся с задачей поэтапно. **Задача:** "Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?" --- ### Шаг 1: определить известные данные - Хорда равна радиусу окружности (обозначим радиус как \( R \)) - Угол тупой (более 90°) - Угол вписанный (то есть угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — хордовые линии) --- ### Шаг 2: что такое вписанный угол? Вписанный угол — это угол, у вершины которого лежит на окружности. Свойство: **вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.** Следовательно: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \text{ дуги } A B\) --- ### Шаг 3: анализируем данную хорду - Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу. - Хорда внутри окружности, длина которой равна радиусу: \( AB = R \). --- ### Шаг 4: расположение хорд и точек Рассмотрим окружность с центром \( O \), и хорду \( AB \), длина которой равна \( R \). Обозначим: - точка \( A \) и точка \( B \) — концы хорды. - Вершина угла — точка \( C \) на окружности, где находится вписанный угол. --- ### Шаг 5: рассматриваем случай - Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на хорду \( AB \). - Нам нужно найти величину этого угла, который — тупой, то есть больше 90°. --- ### Шаг 6: свойства Если хорда \( AB \) равна радиусу — это особый случай. Обратим внимание: - Величина хорд у окружности связана с центральным углом. - Если хорда равна радиусу, то она, скорее всего, является коротким отрезком, соединяющим две точки окружности. --- ### Шаг 7: построение и вывод Рассмотрим фигуру: - Центр \( O \) - Хорду \( AB \) длиной \( R \) Возможна ситуация, где: - \( A \) и \( B \) расположены так, что \( AB = R \) - Тогда, радиус \( OA \) и \( OB \) равен \( R \) Рассмотрим треугольник \( OAB \): - \( OA = OB = R \) - \( AB = R \) Теперь вычислим угол \( \angle AOB \): Используем формулу для стороны треугольника: \[ AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB \] Подставим: \[ R^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 R^{2} \cos \angle AOB \] Приведем: \[ R^{2} = 2 R^{2} - 2 R^{2} \cos \angle AOB \] Вычитая \( 2 R^{2} \) с обеих сторон: \[ R^{2} - 2 R^{2} = - 2 R^{2} \cos \angle AOB \] \[ - R^{2} = - 2 R^{2} \cos \angle AOB \] Делим обе части на \( - 2 R^{2} \): \[ \frac{- R^{2}}{- 2 R^{2}} = \cos \angle AOB \] \[ \frac{1}{2} = \cos \angle AOB \] Значит: \[ \angle AOB = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \] --- ### Шаг 8: связь с вписанным углом У вписанного угла, опирающегося на эту хорду \( AB \), дуга \( A B \), равна двойке центральных углов: \[ \text{дуга } A B = 2 \times \angle AOB = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \] Следовательно, вписанный угол: \[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times \text{дуга } A B = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \] --- ### **Последний важный момент:** **Угол вписанный в окружности и равный 60°, он — **острый**, а условие — "тупой".** **Значит,** мы ищем другую ситуацию, при которой угол станет тупым. В противном случае, такой угол не может быть больше 90°, если он равен 60°. Но если окружность и хорда так расположены, то: - Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине дуги, на которую он опирается. - Дуговой мерой, равной 120°, соответствует угол в 60°, что — острый. Другой вариант — рассмотреть дугу, равную 240°, тогда вписанный угол составляет \( 120^\circ \): \[ \angle = \frac{1}{2} \times 240^\circ = 120^\circ \] Это — **тупой угол**, и он больше 90°. --- ### **Ответ:** **Если вписанный угол опирается на дугу, равную 240°, то его величина — 120°.** По условию, угол "тупой" — то есть больше 90°, и такой угол равен **120 градусам**. --- ## Итог: **ответ: 120 градусов**. --- Если нужен более короткий и ясный ответ: **Тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности, равен 120 градусам.**