Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.
Давайте разберёмся с задачей поэтапно.
Задача:
"Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности?"
Шаг 1: определить известные данные
- Хорда равна радиусу окружности (обозначим радиус как \( R \))
- Угол тупой (более 90°)
- Угол вписанный (то есть угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — хордовые линии)
Шаг 2: что такое вписанный угол?
Вписанный угол — это угол, у вершины которого лежит на окружности.
Свойство: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Следовательно:
\(\angle ABC = \frac{1}{2} \text{ дуги } A B\)
Шаг 3: анализируем данную хорду
- Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу.
- Хорда внутри окружности, длина которой равна радиусу: \( AB = R \).
Шаг 4: расположение хорд и точек
Рассмотрим окружность с центром \( O \), и хорду \( AB \), длина которой равна \( R \).
Обозначим:
- точка \( A \) и точка \( B \) — концы хорды.
- Вершина угла — точка \( C \) на окружности, где находится вписанный угол.
Шаг 5: рассматриваем случай
- Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на хорду \( AB \).
- Нам нужно найти величину этого угла, который — тупой, то есть больше 90°.
Шаг 6: свойства
Если хорда \( AB \) равна радиусу — это особый случай.
Обратим внимание:
- Величина хорд у окружности связана с центральным углом.
- Если хорда равна радиусу, то она, скорее всего, является коротким отрезком, соединяющим две точки окружности.
Шаг 7: построение и вывод
Рассмотрим фигуру:
- Центр \( O \)
- Хорду \( AB \) длиной \( R \)
Возможна ситуация, где:
- \( A \) и \( B \) расположены так, что \( AB = R \)
- Тогда, радиус \( OA \) и \( OB \) равен \( R \)
Рассмотрим треугольник \( OAB \):
- \( OA = OB = R \)
- \( AB = R \)
Теперь вычислим угол \( \angle AOB \):
Используем формулу для стороны треугольника:
\[ AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos \angle AOB \]
Подставим:
\[ R^{2} = R^{2} + R^{2} - 2 R^{2} \cos \angle AOB \]
Приведем:
\[ R^{2} = 2 R^{2} - 2 R^{2} \cos \angle AOB \]
Вычитая \( 2 R^{2} \) с обеих сторон:
\[ R^{2} - 2 R^{2} = - 2 R^{2} \cos \angle AOB \]
\[ - R^{2} = - 2 R^{2} \cos \angle AOB \]
Делим обе части на \( - 2 R^{2} \):
\[ \frac{- R^{2}}{- 2 R^{2}} = \cos \angle AOB \]
\[ \frac{1}{2} = \cos \angle AOB \]
Значит:
\[ \angle AOB = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ \]
Шаг 8: связь с вписанным углом
У вписанного угла, опирающегося на эту хорду \( AB \), дуга \( A B \), равна двойке центральных углов:
\[ \text{дуга } A B = 2 \times \angle AOB = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \]
Следовательно, вписанный угол:
\[ \angle ACB = \frac{1}{2} \times \text{дуга } A B = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]
Последний важный момент:
Угол вписанный в окружности и равный 60°, он — острый, а условие — "тупой".
Значит, мы ищем другую ситуацию, при которой угол станет тупым. В противном случае, такой угол не может быть больше 90°, если он равен 60°.
Но если окружность и хорда так расположены, то:
- Вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине дуги, на которую он опирается.
- Дуговой мерой, равной 120°, соответствует угол в 60°, что — острый.
Другой вариант — рассмотреть дугу, равную 240°, тогда вписанный угол составляет \( 120^\circ \):
\[ \angle = \frac{1}{2} \times 240^\circ = 120^\circ \]
Это — тупой угол, и он больше 90°.
Ответ:
Если вписанный угол опирается на дугу, равную 240°, то его величина — 120°.
По условию, угол "тупой" — то есть больше 90°, и такой угол равен 120 градусам.
Итог: ответ: 120 градусов.
Если нужен более короткий и ясный ответ:
Тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности, равен 120 градусам.
