Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2 см, а высота пирамиды √15 см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.
Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Сторона основания \( a = 2\, см \)
- Высота пирамиды \( h = \sqrt{15}\, см \)
Нам нужно найти:
- Боковое ребро \( l \)
- Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)
Шаг 1. Определение геометрической конструкции
У правильной четырёхугольной пирамиды:
- Основание — квадрат со стороной \( a \)
- Вершина пирамиды находится строго над центром основания
- Боковые ребра — одинаковые по длине и соединяют вершину с вершинами основания
Шаг 2. Построение вспомогательных линий
Рассмотрим:
- Центр основания \( O \)
- Вершина пирамиды \( V \)
- Вершина основания \( A, B, C, D \)
Высота \( h \) — это расстояние от вершины \( V \) до плоскости основания \( ABCD \)
Чтобы найти боковое ребро \( l \), нужно определить длину \( VA \). Рассмотрим треугольник:
- \( VO \) — высота пирамиды, перпендикуляр из вершины \( V \) на основание, равен \( h = \sqrt{15} \)
- \( OA \) — половина диагонали квадрата основания, поскольку \( V \) находится над центром основания \( O \)
Шаг 3. Нахождение длины \( OA \)
Диагональ квадрата со стороной \( a = 2\, см \):
\[ d = a \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\, см \]
Половина диагонали:
\[ OA = \frac{d}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\, см \]
Шаг 4. Нахождение длины бокового ребра \( l = VA \)
Теперь в треугольнике \( VOA \):
- \( VO = h = \sqrt{15} \)
- \( OA = \sqrt{2} \)
Это прямоугольный треугольник, так как высота \( V \) находится прямо над центром основания \( O \), и \( VA \) — боковое ребро, гипотенуза.
По теореме Пифагора:
\[ l = VA = \sqrt{VO^2 + OA^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{2})^2} \]
Расчёт:
\[ l = \sqrt{15 + 2} = \sqrt{17} \]
Ответ 1: Боковое ребро \( l = \sqrt{17}\, см \)
Шаг 5. Нахождение площади боковой поверхности
Площадь боковой поверхности — сумма площадей четырёх равных треугольных боковых сторон.
Каждая боковая face — равнобедренный треугольник с основанием \( a = 2\, см \) и боковой стороной \( l = \sqrt{17}\, см \).
Площадь одного такого треугольника:
\[ S_{т} = \frac{1}{2} \times основание \times высота \]
Нам нужно найти высоту \( h_b \) этого треугольника (высоту бокового треугольника).
Шаг 6. Нахождение высоты бокового треугольника \( h_b \)
Рассмотрим треугольник:
- Основание — сторона квадрата \( a = 2\, см \)
- Вершина — вершина пирамиды \( V \)
- Центр основания \( O \)
Рисуем высоту бокового треугольника, опущенную из вершины \( V \) к стороне основания.
Обозначим:
- \( M \) — точка середины основания одного бокового треугольника, например, середина ребра \( AB \)
Расстояние от \( V \) до \( M \) есть искомая высота \( h_b \).
Шаг 7. Нахождение \( h_b \)
Рассмотрим треугольник \( VAM \):
- \( A \) — вершина основания
- \( M \) — середина стороны \( AB \), она делит сторону пополам, значит \( AM = \frac{a}{2} = 1\, см \)
- \( V \) — вершина пирамиды
Высота бокового треугольника \( h_b \) — это расстояние от \( V \) до \( M \).
В треугольнике \( VOM \):
- \( VO = \sqrt{15} \) — высота пирамиды
- \( OM \) — расстояние от центра основания до середины стороны \( AB \)
Рассчитаем \( OM \).
Шаг 8. Нахождение \( OM \)
Поскольку \( O \) — центр квадрата, а \( M \) — середина стороны:
- Расстояние \( OM \) равно расстоянию от центра квадрата до середины стороны:
\[ OM = \frac{a}{2} = 1\, см \]
но, чтобы найти высоту бокового треугольника, нужно применить теорему Пифагора:
\[ h_b = \sqrt{l^2 - OM^2} \]
где:
- \( l = \sqrt{17} \)
- \( OM = 1 \)
Поэтому:
\[ h_b = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 1^2} = \sqrt{17 - 1} = \sqrt{16} = 4\, см \]
Шаг 9. Нахождение площади одного бокового треугольника
Площадь одного бокового треугольника:
\[ S_{бок,0} = \frac{1}{2} \times a \times h_b = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\, см^2 \]
Так как боковых сторон 4 одинаковых, то:
\[ S_{бок} = 4 \times 4 = 16\, см^2 \]
Итоговые ответы:
Длина бокового ребра: \(\boxed{\sqrt{17}\, см}\)
Площадь боковой поверхности: \(\boxed{16\, см^2}\)
Если есть еще вопросы, с радостью помогу!
