Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2 см, а высота пирамиды √15 см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) площадь боковой поверхности пирамиды.

Давайте решим задачу пошагово, подробно объясняя каждый этап. **Дано:** - Сторона основания \( a = 2\, см \) - Высота пирамиды \( h = \sqrt{15}\, см \) Нам нужно найти: 1. Боковое ребро \( l \) 2. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) --- ## Шаг 1. Определение геометрической конструкции У правильной четырёхугольной пирамиды: - Основание — квадрат со стороной \( a \) - Вершина пирамиды находится строго над центром основания - Боковые ребра — одинаковые по длине и соединяют вершину с вершинами основания --- ## Шаг 2. Построение вспомогательных линий Рассмотрим: - Центр основания \( O \) - Вершина пирамиды \( V \) - Вершина основания \( A, B, C, D \) Высота \( h \) — это расстояние от вершины \( V \) до плоскости основания \( ABCD \) Чтобы найти боковое ребро \( l \), нужно определить длину \( VA \). Рассмотрим треугольник: - \( VO \) — высота пирамиды, перпендикуляр из вершины \( V \) на основание, равен \( h = \sqrt{15} \) - \( OA \) — половина диагонали квадрата основания, поскольку \( V \) находится над центром основания \( O \) --- ## Шаг 3. Нахождение длины \( OA \) Диагональ квадрата со стороной \( a = 2\, см \): \[ d = a \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}\, см \] Половина диагонали: \[ OA = \frac{d}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\, см \] --- ## Шаг 4. Нахождение длины бокового ребра \( l = VA \) Теперь в треугольнике \( VOA \): - \( VO = h = \sqrt{15} \) - \( OA = \sqrt{2} \) Это прямоугольный треугольник, так как высота \( V \) находится прямо над центром основания \( O \), и \( VA \) — боковое ребро, гипотенуза. По теореме Пифагора: \[ l = VA = \sqrt{VO^2 + OA^2} = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{2})^2} \] Расчёт: \[ l = \sqrt{15 + 2} = \sqrt{17} \] **Ответ 1:** Боковое ребро \( l = \sqrt{17}\, см \) --- ## Шаг 5. Нахождение площади боковой поверхности Площадь боковой поверхности — сумма площадей четырёх равных треугольных боковых сторон. Каждая боковая face — равнобедренный треугольник с основанием \( a = 2\, см \) и боковой стороной \( l = \sqrt{17}\, см \). Площадь одного такого треугольника: \[ S_{т} = \frac{1}{2} \times основание \times высота \] Нам нужно найти высоту \( h_b \) этого треугольника (высоту бокового треугольника). --- ## Шаг 6. Нахождение высоты бокового треугольника \( h_b \) Рассмотрим треугольник: - Основание — сторона квадрата \( a = 2\, см \) - Вершина — вершина пирамиды \( V \) - Центр основания \( O \) Рисуем высоту бокового треугольника, опущенную из вершины \( V \) к стороне основания. Обозначим: - \( M \) — точка середины основания одного бокового треугольника, например, середина ребра \( AB \) Расстояние от \( V \) до \( M \) есть искомая высота \( h_b \). --- ## Шаг 7. Нахождение \( h_b \) Рассмотрим треугольник \( VAM \): - \( A \) — вершина основания - \( M \) — середина стороны \( AB \), она делит сторону пополам, значит \( AM = \frac{a}{2} = 1\, см \) - \( V \) — вершина пирамиды Высота бокового треугольника \( h_b \) — это расстояние от \( V \) до \( M \). В треугольнике \( VOM \): - \( VO = \sqrt{15} \) — высота пирамиды - \( OM \) — расстояние от центра основания до середины стороны \( AB \) Рассчитаем \( OM \). --- ## Шаг 8. Нахождение \( OM \) Поскольку \( O \) — центр квадрата, а \( M \) — середина стороны: - Расстояние \( OM \) равно расстоянию от центра квадрата до середины стороны: \[ OM = \frac{a}{2} = 1\, см \] но, чтобы найти высоту бокового треугольника, нужно применить теорему Пифагора: \[ h_b = \sqrt{l^2 - OM^2} \] где: - \( l = \sqrt{17} \) - \( OM = 1 \) Поэтому: \[ h_b = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 1^2} = \sqrt{17 - 1} = \sqrt{16} = 4\, см \] --- ## Шаг 9. Нахождение площади одного бокового треугольника Площадь одного бокового треугольника: \[ S_{бок,0} = \frac{1}{2} \times a \times h_b = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4\, см^2 \] Так как боковых сторон 4 одинаковых, то: \[ S_{бок} = 4 \times 4 = 16\, см^2 \] --- ## Итоговые ответы: 1. **Длина бокового ребра:** \(\boxed{\sqrt{17}\, см}\) 2. **Площадь боковой поверхности:** \(\boxed{16\, см^2}\) Если есть еще вопросы, с радостью помогу!