В треугольнике АВС известно что АС =7 уголА =60 угол С равен 90 найдите радиус описанной окружности этого треугольника

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый шаг. **Дано:** - В треугольнике ABC: \( AC = 7 \) (длина стороны) \( \angle A = 60^\circ \) \( \angle C = 90^\circ \) Нам нужно найти радиус описанной вокруг треугольника окружности (\( R \)). --- ### Шаг 1: Определим известные углы и стороны Поскольку \( \angle C = 90^\circ \), треугольник ABC — прямоугольный, при этом: - \(\angle A = 60^\circ\) - \(\angle C = 90^\circ\) - \следовательно, \(\angle B = 30^\circ\) (так как сумма углов в треугольнике 180°) ### Шаг 2: Обозначим стороны Обозначим стороны: - \( AB = c \) - \( BC = a \) - \( AC = b \) По условию, \( AC = 7 \). Заметим, что сторона AC — это катет, лежащий напротив угла \( \angle B \). Нам нужно определить какое это положение, и для этого воспользуемся известной тригонометрией. --- ### Шаг 3: Найдём остальные стороны Поскольку \( \angle C = 90^\circ \), стороны \( AC \) и \( BC \) — катеты, а \( AB \) — гипотенуза. Зная, что: - \(\angle A = 60^\circ\) - \( AC = 7 \) Используем тригонометрию для определения других сторон: \[ \sin \angle A = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\hypotenuse} \] Угол \( A \) через сторону \( BC \) (которая против \( \angle A \)), а гипотензу — это \( AB \): \[ \sin 60^\circ = \frac{BC}{AB} \] Также, сторона \( AC \) — это катет, лежащий напротив \(\angle C = 90^\circ\), так что, более целесообразно использовать следующее: Поскольку \( \angle C = 90^\circ \), стороны \( AC \) и \( BC \) — катеты: - \( AC \) — противоположен \( \angle B = 30^\circ \), - \( BC \) — противоположен \( \angle A = 60^\circ \). По тригонометрии в прямоугольном треугольнике: \[ \text{катет} = \text{гипотенуза} \times \sin \text{угла} \quad \text{или} \quad \cos \text{угла} \] Используем это для \( AC \), которая противоположна \( \angle B = 30^\circ \): \[ AC = AB \times \sin 30^\circ \] Но у нас \( AC = 7 \), и \( \sin 30^\circ = 0.5 \), тогда: \[ 7 = AB \times 0.5 \implies AB = \frac{7}{0.5} = 14 \] Теперь найдём \( BC \). Она противоположна \( \angle A = 60^\circ \): \[ BC = AB \times \sin 60^\circ = 14 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14 \times 0.8660 \approx 12.124 \] Итак, стороны: - \( AB = 14 \) - \( BC \approx 12.124 \) - \( AC = 7 \) --- ### Шаг 4: Находим радиус описанной окружности \( R \) В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности связан с гипотенузой: \[ R = \frac{\text{гипотенуза}}{2} \] Гипотенуза — сторона \( AB \): \[ R = \frac{14}{2} = 7 \] --- ## Итог: Радиус описанной окружности треугольника равен **7**. --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить любой из шагов, пишите!