Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Вектор ( \mathbf{a} ) с длиной ( |\mathbf{a}| = 2 )
- Вектор ( \mathbf{b} ) с длиной ( |\mathbf{b}| = 7 )
- Скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 7 \sqrt{3} )
Нам нужно найти угол ( \theta ) между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).
Шаг 1: Заявление формулы для скалярного произведения
Скалярное произведение двух векторов выражается так:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta
]
Где:
- ( |\mathbf{a}| ) — длина вектора ( \mathbf{a} ),
- ( |\mathbf{b}| ) — длина вектора ( \mathbf{b} ),
- ( \theta ) — угол между векторами.
Шаг 2: Подставим известные значения
[
7 \sqrt{3} = 2 \times 7 \times \cos \theta
]
Сразу упростим правую часть:
[
7 \sqrt{3} = 14 \cos \theta
]
Шаг 3: Найти ( \cos \theta )
Делим обе части уравнения на 14:
[
\cos \theta = \frac{7 \sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Шаг 4: Находим угол ( \theta )
Значение ( \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} )
Из известных тригонометрических значений:
[
\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
или в радианах:
[
\theta = 30^\circ
]
или
[
\theta = \frac{\pi}{6} \text{ радиан}
]
Это — основной угол между векторами.
Итог:
Ответ: (\boxed{30^\circ})
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!
