При каком наименьшем значении переменной сумма дробей r+4 и � � − 2 r−2 r равна 3 3 5 ? 3 5 3 ?
Давайте внимательно решим задачу.
Дано:
Сумма двух дробей равна \( \frac{3}{5} \):
\[
r + 4 + \frac{r - 2}{r} = \frac{3}{5}
\]
Цель: найти наименьшее значение \( r \), при котором это равенство выполняется.
Шаг 1. Запишем исходное уравнение:
\[ r + 4 + \frac{r - 2}{r} = \frac{3}{5} \]
Шаг 2. Упростим уравнение.
Обратим внимание, что в левой части присутствует выражение \( r + 4 + \frac{r - 2}{r} \).
Чтобы упростить, приведём к общему знаменателю.
Шаг 3. Объединим в одно уравнение.
Прежде чем это сделать, можно избавиться от дроби, умножив всё уравнение на \( r \) (предполагаем, что \( r \neq 0 \)):
\[ r \cdot \left( r + 4 + \frac{r - 2}{r} \right) = r \cdot \frac{3}{5} \]
Рассмотрим левую часть подробнее:
\[ r \cdot r + r \cdot 4 + r \cdot \frac{r - 2}{r} \]
Это равно:
\[ r^2 + 4r + (r - 2) \]
Потому что \( r \cdot \frac{r - 2}{r} = r - 2 \).
Итак, уравнение превращается в:
\[ r^2 + 4r + r - 2 = \frac{3r}{5} \]
Объединим подобные члены слева:
\[ r^2 + 5r - 2 = \frac{3r}{5} \]
Шаг 4. Упростим уравнение.
Перенесём все в левую сторону:
\[ r^2 + 5r - 2 - \frac{3r}{5} = 0 \]
Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 5:
\[ 5r^2 + 25r - 10 - 3r = 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ 5r^2 + (25r - 3r) - 10 = 0 \]
\[ 5r^2 + 22r - 10 = 0 \]
Шаг 5. Решаем полученное квадратное уравнение:
\[ 5r^2 + 22r - 10 = 0 \]
Коэффициенты:
- \( a = 5 \)
- \( b = 22 \)
- \( c = -10 \)
Используем формулу корней квадратичного уравнения:
\[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ r = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10)}}{2 \cdot 5} \]
Вычисим дискриминант:
\[ D = 22^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 484 + 200 = 684 \]
Корень из 684:
\[ \sqrt{684} \approx 26.153 \]
Теперь найдём корни:
\[ r = \frac{-22 \pm 26.153}{10} \]
Первый корень:
\[ r_1 = \frac{-22 + 26.153}{10} = \frac{4.153}{10} \approx 0.4153 \]
Второй корень:
\[ r_2 = \frac{-22 - 26.153}{10} = \frac{-48.153}{10} \approx -4.8153 \]
Ответ:
Наименьшее значение \( r \), при котором сумма дробей равна \( \frac{3}{5} \), — это приблизительно \(-4.8153\).
Если нужно округлить, то ответ:
Наименьшее \( r \approx -4.82 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна проверка, обращайтесь!
