Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие A A : «при первом броске выпадет 2 2 очка» и событие B B : «при…

Давайте подробно разберём задачу, чтобы понять, какие пары событий являются независимыми.

Что значит — события независимы?
Два события A и B считаются независимыми, если выполнение одного из них не влияет на вероятность выполнения другого. Другими словами:
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Рассмотрим каждый случай.

---

1. Событие A: «при первом броске выпадет 2 очка»

Событие B: «при втором броске выпадет больше 2 очков»

Анализ:
Выпадение 2 очков при первом броске — это фиксированное событие.
Выпадение при втором броске более 2 очков — это также фиксировано.
Поскольку броски игральной костюмы — это независимые события, вероятность второго броска зависит только от второго броска, а не от первого.

Вероятности:

• \( P(A) = \frac{1}{6} \) — поскольку одна сторона из шести показывает 2 очка.
• \( P(B) = P(\text{второй бросок > 2}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \), потому что стороны с 3, 4, 5, 6 — это 4 варианта, но их всего 6, нужно учесть вероятности:
  Варианты — 3, 4, 5, 6 → 4 из 6: \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
  Проверка: правильный ответ:
  — Во всех случаях, если первым броском выпало 2, то это не влияет на второй.
  — Поэтому, вероятность события B:
  • В случае первого броска, не влияет на второй.

Если нужно проверить на независимость:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Это важно только для определения независимости, ведь вероятность совместного события:
\[ P(A \cap B) = P(\text{1-й бросок = 2} \text{ и 2-й > 2}) \]

Поскольку броски независимы:
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]

Следовательно, эти события — независимы.

---

2. Событие A: «при первом броске выпадет больше 2 очков»

Событие B: «сумма выпавших очков равна 6»

Анализ:
Здесь важно понять, влияет ли результат первого броска на сумму.

• Вероятности:
  • \( P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (выпадет 3, 4, 5, 6)
  • Для события B: сумма равна 6.

Рассмотрим, что такое — сумма 6:

• Возможные комбинации для суммы 6:
  • (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) — всего 5 вариантов.

Теперь посмотрим, как наличие события A (больше 2 очков при первом броске), влияет на вероятность второго броска, чтобы сумма была 6:

Пары, дающие сумму 6:

• (1,5): первый бросок — 1 — А не выполняется, т.к. А — «больше 2», условие не выполнено.
• (2,4): первый — 2 — не >= 3, не входит в A.
• (3,3): первый — 3 — входит в A, получается.
• (4,2): первый — 4 — входит в A.
• (5,1): первый — 5 — входит в A.

Вероятность B при условии A:

• Первый бросок: 3,4,5 (все в А).
• Второй бросок: соответствующие значения — 3,2,1.
  • Для суммы 6:
    • (3,3): второй — 3
    • (4,2): второй — 2
    • (5,1): второй — 1

Вероятности:

• Вероятность, что первый бросок — 3,4,5: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

• Вероятность, что второй бросок — соответствующее число для суммы 6:

  Для каждого варианта: вероятность конкретного броска — \( \frac{1}{6} \).

Итак, вероятность, что сумма равна 6 и при этом первый бросок > 2 (больше 2):
\[ P(A \cap B) = P(\text{первый > 2 и сумма 6}) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \]

Общая вероятность, что сумма равна 6:
\[ P(B) = \frac{5}{36} \]

Вероятность, что первый > 2:
\[ P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Обоснованная проверка показывает, что
\[ P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{5}{36} = \frac{10}{108} \neq \frac{3}{36} \]

Итак, события не независимы, потому что:
\[ P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B) \]

---

3. Событие A: «при первом броске выпадет 1 очко»

Событие B: «хотя бы раз выпадет 3 очка»

Анализ:

• Вероятность A:
  \[ P(A) = \frac{1}{6} \]

• Вероятность B:
  «хотя бы раз выпадет 3 очка в двух бросках»

• Вероятность «не выпадет 3» в одном броске: \( \frac{5}{6} \)

• В двух бросках:
  \[ P(\text{не выпадет 3 в двух бросках}) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36} \]

• Поэтому вероятность, что хотя бы раз выпадет 3:
  \[ P(B) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \]

• Вероятность совместного события:
  \[ P(A \cap B) = P(\text{1 бросок — 1 очко и хотя бы один 3 очка в обоих бросках}) \]

• А — первый бросок 1, второй бросок — любой.

• И в этом втором броске может быть 3 или нет:

  • Вероятность: первый — 1 очко, второй — 3 очка:
    \[ P(\text{1 и 3}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \]

• А ещё, второй бросок может быть 3, а первый — 1 — всё равно входит.

Проверка:

• \( P(A) = \frac{1}{6} \)

• \( P(B) = \frac{11}{36} \)

• \( P(A \cap B) = \frac{1}{36} \)

• Проверка независимости:
  \[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{6} \times \frac{11}{36} = \frac{11}{216} \]

Число \( \frac{11}{216} \neq \frac{1}{36} \), то есть, вероятность \( P(A \cap B) \) не равна произведению. Следовательно, эти события не независимы.

---

4. Событие A: «при первом броске выпадет чётное количество очков»

Событие B: «при втором броске выпадет меньше 4»

Анализ:

• Вероятность A:
  Четное число — 2, 4, 6
  \[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

• Вероятность B:
  Меньше 4 — 1, 2, 3
  \[ P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

• Совместное событие \(A \cap B\):

• Первый бросок — четное (2,4,6).

• Второй бросок < 4 (1,2,3).

Вероятность:

• Первый бросок — 3 варианта: 2,4,6 — \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
• Второй — 3 варианта: 1,2,3 — \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

Поскольку броски независимы:
\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Это равно вероятности, вычисленной напрямую, так как броски независимы.

ИТОГ:
— В этом случае события являются независимыми.

---

Итоговое решение:

• Первый случай: события независимы
• Второй случай: события не независимы
• Третий случай: события не независимы
• Четвёртый случай: события являются независимыми

---

Ответ:

Верные варианты:

• Первый
• Четвёртый

Потому что эти пары событий — независимы.