Маша движется на автомобиле по дороге, где установлено -ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определённой…
Маша движется на автомобиле по дороге, где установлено -ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определённой периодичностью. Пусть количество остановок на этой улице будет случайной величиной Х,a N = 6. Используя эту информацию, найди вероятность того, что Маша остановится 3 раза. (Ответ округли до сотых.)
Давайте разберемся с задачей подробно.
Постановка задачи:
- Машина едет по дороге с N = 6 светофорами.
- Каждый светофор меняет сигналы (красный/зелёный) с определённой периодичностью.
- Количество остановок на улице — случайная величина X.
- Нужно найти вероятность того, что Машина остановится ровно 3 раза: P(X = 3).
- Ответ округлить до сотых.
Предположения и интерпретация
Из условия не полностью ясно, как именно меняются сигналы и как это влияет на остановки. Обычно в подобных задачах предполагается, что:
- Каждый светофор работает независимо.
- Вероятность остановки у каждого светофора равна вероятности, что при проходе светофора он будет в красном свете (или просто, что вероятность остановки на каждом светофоре равна p).
Наиболее распространенная модель — это биномиальное распределение: вероятность остановки на каждом светофоре равна p, станут независимыми события.
Наиболее вероятное интерпретирование задачи
Пусть вероятность остановки на каждом светофоре — p (например, без конкретных данных — возьмем общую задачу, где p — вероятность остановки).
Тогда количество остановок — число светофоров, на которых Машина остановится — есть биномиально распределенной случайной величиной:
\[ P(X = k) = \binom{N}{k} p^{k} (1 - p)^{N - k} \]
где:
- \( N = 6 \) — общее число светофоров,
- \( k=3 \) — искомое число остановок,
- \( p \) — вероятность остановки на каждом светофоре.
Решение
Поскольку в условии не указана конкретная вероятность p, предположим для упрощения, что p=0.5 (т.е. вероятность остаться стоять на светофоре равна вероятности проехать его без остановки). Это наиболее нейтральное значение.
Подставим:
\[ P(X=3) = \binom{6}{3} (0.5)^3 (0.5)^{6-3} = \binom{6}{3} (0.5)^6 \]
Вычислим:
\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = 20 \]
\[ (0.5)^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \]
Следовательно:
\[ P(X=3) = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0.3125 \]
Итог
Ответ: вероятность, что Машина остановится ровно 3 раза — приблизительно 0,31 (округлено до сотых).
Если у вас есть дополнительные данные, например, точная вероятность остановки на каждом светофоре, её можно учесть для более точного расчета.
