Давайте разберём задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Масса материальной точки: ( m = 6,\text{г} = 0{,}006,\text{кг} )
- Период колебаний: ( T = 1,\text{с} )
- Начальная фаза: ( \varphi = \frac{\pi}{4} )
- Максимальная кинетическая энергия: ( E_{k,\text{max}} = 0{,}04,\text{Дж} )
Задача:
Найти амплитуду колебаний (A).
Шаг 1. Связь между периодом и характеристиками гармонического колебания
Для гармонического осциллятора период (T) связан с массой и жесткостью (k) через формулу:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
]
Отсюда можно выразить (k):
[
k = \frac{4\pi^2 m}{T^2}
]
Подставим числа:
[
k = \frac{4 \pi^2 \times 0{,}006,\text{кг}}{(1,\text{s})^2} = 4 \pi^2 \times 0,006
]
[
\pi^2 \approx 9,8696
]
[
k \approx 4 \times 9,8696 \times 0,006 \approx 4 \times 0,0592176 \approx 0,2369, \text{Н/м}
]
Шаг 2. Максимальная кинетическая энергия
Максимальная кинетическая энергия в гармоническом движении:
[
E_{k,\text{max}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2
]
Но при гармоническом движении:
[
v(t) = A \omega \cos(\omega t + \varphi)
]
Максимальная скорость:
[
v_{\text{max}} = A \omega
]
Тогда:
[
E_{k,\text{max}} = \frac{1}{2} m (A \omega)^2
]
Шаг 3. Найдём angular velocity (\omega)
Связь между периодом и (\omega):
[
\omega = \frac{2\pi}{T}
]
Подставляем (T=1,\text{s}):
[
\omega = 2 \pi \approx 6,283
]
Шаг 4. Выразим амплитуду (A)
Из предыдущего выражения:
[
E_{k,\text{max}} = \frac{1}{2} m (A \omega)^2
]
Решим относительно (A):
[
A = \sqrt{\frac{2 E_{k,\text{max}}}{m \omega^2}}
]
Подставим значения:
[
A = \sqrt{\frac{2 \times 0,04}{0,006 \times (6,283)^2}}
]
Вычислим знаменатель:
[
0,006 \times (6,283)^2 = 0,006 \times 39,478 = 0,23687
]
Числитель:
[
2 \times 0,04 = 0,08
]
Теперь:
[
A = \sqrt{\frac{0,08}{0,23687}} \approx \sqrt{0,3376} \approx 0,58,\text{м}
]
Итог:
Амплитуда колебаний: (\boxed{0,58,\text{м}})
Ответ округлён до сотых.
Если нужен более подробный разбор или объяснение по любому разделу, скажите!
