В прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол 30°. боковая поверхность равна 16 см². найдите его объем
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дано:
- В основании прямого параллелепипеда стороны 1 см и 2 см, образующие угол 30°.
- Боковая поверхность равна 16 см².
- Требуется найти объем параллелепипеда.
Шаг 1. Обозначения и основная идея
Обозначим:
- стороны основания: \( a = 1 \text{ см} \), \( b = 2 \text{ см} \).
- угол между сторонами основания: \( \theta = 30^\circ \).
- высота параллелепипеда: \( h \).
Шаг 2. Площадь основания
Площадь основания (не прямоугольника, а параллелепипеда с наклонным основанием):
Площадь параллелограмма, так как стороны образуют угол:
\[ S_{осн} = a \times b \times \sin \theta \]
Подставим числа:
\[ S_{осн} = 1 \times 2 \times \sin 30^\circ \]
Поскольку \(\sin 30^\circ = 0.5\), получаем:
\[ S_{осн} = 2 \times 0.5 = 1 \text{ см}^2 \]
Шаг 3. Боковая поверхность
Боковая поверхность — это сумма боковых граней, расположенных по периметру основания, со стороной, перпендикулярной высоте.
Для параллелепипеда боковая поверхность рассчитывается как сумма всех боковых граней. Однако, в данной задаче, скорее всего, имеется в виду сумма трех боковых граней, образованных при вертикальных сторонах и высоте.
Связь между боковой поверхностью, высотой и сторонами:
Поскольку боковая поверхность равна 16 см², она равна сумме всех боковых граней. В классическом параллелепипеде 4 вертикальные грани, каждая — прямоугольник с одной стороной — высотой \(h\) и другой — стороной основания, то есть:
\[ S_{бок} = 2 (a + b) \times h \]
Поскольку у нас речь о боковой поверхности: это сумма двух пар параллельных граней — то есть раз вечение, которое можно представить как:
- Две грани, где длина — \(a\), а высота — \(h\): их площадь = \(2a h\),
- Две грани, где длина — \(b\), а высота — \(h\): их площадь = \(2b h\).
Общий боковой периметр \(P\) равен \(2 (a + b)\).
Итак,
\[ S_{бок} = 2(a + b) h \]
Подставим известные значения:
\[ 16 = 2 (1 + 2) h \Rightarrow 16 = 2 \times 3 \times h \Rightarrow 16 = 6 h \]
Отсюда:
\[ h = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \text{ см} \]
Шаг 4. Объем параллелепипеда
Объем равен площади основания, умноженной на высоту:
\[ V = S_{осн} \times h \]
Подставим полученные значения:
\[ V = 1 \times \frac{8}{3} = \frac{8}{3} \text{ см}^3 \]
Итог:
Ответ:
\[ \boxed{\frac{8}{3} \text{ см}^3} \]
или примерно 2,67 см³.
