студент колледжа сдает 6 экзаменов.Вероятность сдачи каждого экзамена равна 0,5.случайная величина Х число сдавших экзаменов студентов.постройте ряд величины х. 2)в ящике 5 жёлтых…
Студент колледжа сдает 6 экзаменов.Вероятность сдачи каждого экзамена равна 0,5.случайная величина Х число сдавших экзаменов студентов.постройте ряд величины х. 2)в ящике 5 жёлтых шаров и 3 красных.вытаскиваем 4 шара.рассмотрим событие а появление жёлтого шара.составьте ряд распределения случайной величины х
Давайте разберем оба задания по порядку, подробно и понятно.
Задача 1: студент сдает 6 экзаменов, вероятность сдачи каждого равна 0,5.
Нужно построить ряд вероятностей случайной величины \(X\), которая — число сдавших экзаменов.
Шаг 1: Понимание ситуации
- Есть 6 независимых экспериментов (экзаменов).
- Вероятность «успеха» (сдачи) каждого — \(p=0,5\).
- Вероятность «неудачи» — \(q=1-p=0,5\).
Шаг 2: Определение случайной величины \(X\)
- \(X\) — число сдавших экзаменов, может принимать значения от 0 до 6.
Шаг 3: Построение закона распределения
Это биномиальное распределение:
\[
P(X=k) = \binom{6}{k} p^k q^{6-k}
\]
где \(\binom{6}{k}\) — число сочетаний,
\(p=0,5\), \(q=0,5\).
Шаг 4: Расчеты по формуле
Для каждого \(k=0,1,2,3,4,5,6\): \[ P(X=k) = \binom{6}{k} (0.5)^k (0.5)^{6-k} = \binom{6}{k} (0.5)^6 \]
Пример расчетов:
Для \(k=0\): \[ P(0) = \binom{6}{0} (0.5)^6 = 1 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{64} \]
Для \(k=1\): \[ P(1) = \binom{6}{1} (0.5)^6 = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{6}{64} \]
и так далее, до \(k=6\).
Итог:
| \(k\) | \(P(X=k)\) | Расчёт |
|---|---|---|
| 0 | \(\frac{1}{64}\) | \(\binom{6}{0}(0.5)^6\) |
| 1 | \(\frac{6}{64}\) | \(\binom{6}{1}(0.5)^6\) |
| 2 | \(\frac{15}{64}\) | \(\binom{6}{2}(0.5)^6\) |
| 3 | \(\frac{20}{64}\) | \(\binom{6}{3}(0.5)^6\) |
| 4 | \(\frac{15}{64}\) | \(\binom{6}{4}(0.5)^6\) |
| 5 | \(\frac{6}{64}\) | \(\binom{6}{5}(0.5)^6\) |
| 6 | \(\frac{1}{64}\) | \(\binom{6}{6}(0.5)^6\) |
Задача 2:
В ящике 5 желтых и 3 красных шара. Вытаскиваем 4 шара.
Рассмотрим событие \(A\): появление желтого шара. Построить ряд распределения случайной величины \(X\) — число желтых шаров в выбранных 4.
Пояснение:
Шаг 1:
- Общее число шаров: 8.
- Количество желтых: 5.
- Количество красных: 3.
Шаг 2:
- Вытаскиваются 4 шара без возвращения.
- \(X\) — число желтых шаров среди выбранных.
Шаг 3:
- \(X\) может быть от 0 до 4.
Шаг 4:
- Используем гипергеометрическое распределение:
\[ P(X=k) = \frac{\binom{5}{k} \binom{3}{4 - k}}{\binom{8}{4}} \]
где:
- \(\binom{5}{k}\) — выбираем желтые шары из 5,
- \(\binom{3}{4 - k}\) — красные шары из 3,
- \(\binom{8}{4}\) — общее количество способов выбрать 4 шара из 8.
Шаг 5: Расчеты для каждого \(k=0,1,2,3,4\).
Общая вероятность:
\[ P(X=k) = \frac{\binom{5}{k} \binom{3}{4 - k}}{\binom{8}{4}} \]
Общий знаменатель:
\[ \binom{8}{4} = 70 \]
Примеры:
- \(k=0\): \[ P(0) = \frac{\binom{5}{0} \binom{3}{4}}{70} = \frac{1 \times 0}{70} = 0 \]
(число \(\binom{3}{4} = 0\), так как нельзя выбрать 4 красных из 3).
\(k=1\): \[ P(1) = \frac{\binom{5}{1} \binom{3}{3}}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14} \]
\(k=2\): \[ P(2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{3}{2}}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \]
\(k=3\): \[ P(3) = \frac{\binom{5}{3} \binom{3}{1}}{70} = \frac{10 \times 3}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \]
\(k=4\): \[ P(4) = \frac{\binom{5}{4} \binom{3}{0}}{70} = \frac{5 \times 1}{70} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14} \]
Итоговое распределение:
| \(k\) | \(P(X=k)\) | Расчёт |
|---|---|---|
| 0 | 0 | \(\binom{5}{0}\binom{3}{4}/70=0\) |
| 1 | \(\frac{1}{14}\) | \(\frac{5}{70}\) |
| 2 | \(\frac{3}{7}\) | \(\frac{30}{70}\) |
| 3 | \(\frac{3}{7}\) | \(\frac{30}{70}\) |
| 4 | \(\frac{1}{14}\) | \(\frac{5}{70}\) |
Если нужно более подробно разобрать какое-либо из решений, я готов помочь!
