реши
Конечно! Вот решение задачи №20: \( x = (3x - 4)^2 \).
Шаг 1: Раскроем скобки и упростим уравнение. \[ x = (3x - 4)^2 \]
Раскроем степень: \[ x = (3x - 4)(3x - 4) = 9x^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 16 = 9x^2 - 24x + 16 \]
Итак, получили уравнение: \[ x = 9x^2 - 24x + 16 \]
Шаг 2: Перенесем все в левую часть уравнения для получения квадратного уравнения. \[ 0 = 9x^2 - 24x + 16 - x \] \[ 0 = 9x^2 - 24x - x + 16 \] \[ 0 = 9x^2 - 25x + 16 \]
Шаг 3: Найдем корни квадратичного уравнения \(9x^2 - 25x + 16 = 0\). Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=9\), \(b=-25\), \(c=16\).
Подставим: \[ x = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9} \] \[ x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{18} \] \[ x = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{18} \] \[ x = \frac{25 \pm 7}{18} \]
Теперь найдем два корня:
- \(x = \frac{25 + 7}{18} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}\)
- \(x = \frac{25 - 7}{18} = \frac{18}{18} = 1\)
Шаг 4: Проверка решений в исходном уравнении. Проверка для \(x=1\): \[ x = (3x - 4)^2 \] \[ 1 = (3 \cdot 1 - 4)^2 = (-1)^2 = 1 \quad \checkmark \]
Проверка для \(x= \frac{16}{9}\): \[ x = (3x - 4)^2 \] Подставим: \[ \frac{16}{9} = (3 \cdot \frac{16}{9} - 4)^2 \] Посчитаем выражение в скобках: \[ 3 \cdot \frac{16}{9} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3} \] \[ \frac{16}{3} - 4 = \frac{16}{3} - \frac{12}{3} = \frac{4}{3} \] Возводим в квадрат: \[ \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \] Что совпадает с исходным \(x=\frac{16}{9}\). Значит, оба решения подходят.
Ответ: \(\boxed{ x = 1 \quad \text{или} \quad x = \frac{16}{9} }\)
