Давайте подробно решим каждую из заданных задач по порядку.
1. Решите квадратное уравнение: 2x^2 - 11x + 12 = 0
Шаг 1: Определим коэффициенты:
a = 2, b = -11, c = 12
Шаг 2: Находим дискриминант (D):
D = b^2 - 4ac
D = (-11)^2 - 4212
D = 121 - 96 = 25
Шаг 3: Проверяем дискриминант: D > 0, значит решений два:
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
Шаг 4: Вычисляем корни:
x₁ = \frac{-(-11) + \sqrt{25}}{22} = \frac{11 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4
x₂ = \frac{-(-11) - \sqrt{25}}{22} = \frac{11 - 5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5
Ответ:
(\boxed{x = 4 \text{ или } x = 1.5})
2. Решите неравенство: 4(2x - 1) - 3(3x + 2) > 1
Шаг 1: Раскроем скобки:
8x - 4 - 9x - 6 > 1
Шаг 2: Объединим подобные члены:
(8x - 9x) + (-4 - 6) > 1
Шаг 3: Решим относительно x:
Ответ:
(\boxed{x < -11})
Обратите внимание, что при делении на -1 знак не меняется, поэтому:
мы получили: -x > 11 ⇒ x < -11
Итог:
[ \boxed{x < -11} ]
3. Упростите выражение: (5\sqrt{2} - \sqrt{18}) * \sqrt{2}
Шаг 1: Упростим (\sqrt{18}):
(\sqrt{18} = \sqrt{9 * 2} = 3\sqrt{2})
Шаг 2: Подставим в выражение:
(5\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) * \sqrt{2}
Шаг 3: Вычитаем в скобках:
(2\sqrt{2}) * \sqrt{2}
Шаг 4: Умножим:
2\sqrt{2} * \sqrt{2} = 2 * (\sqrt{2} * \sqrt{2}) = 2 * 2 = 4
Ответ:
(\boxed{4})
4. Упростите выражение: (2-6)745
Шаг 1: Вычислим (2-6):
2 - 6 = -4
Шаг 2: В результате получим:
-4 * 745
Шаг 3: Умножим:
-4 * 745 = -2980
Ответ:
(\boxed{-2980})
5. Решите систему неравенств:
[
\begin{cases}
26 - x < 25 \
2x + 7 < 13
\end{cases}
]
Решение первого неравенства:
26 - x < 25
- x < -1
x > 1 (при умножении на -1 знак не меняется)
Решение второго неравенства:
2x + 7 < 13
2x < 6
x < 3
Объединение решений:
x > 1 и x < 3
Ответ:
(\boxed{1 < x < 3})
6. Решите уравнение: (\frac{5x - 7}{x - 3} = \frac{4x - 3}{x})
Шаг 1: Перепишем уравнение:
(\frac{5x - 7}{x - 3} = \frac{4x - 3}{x})
Шаг 2: Перемножим крест-накрест:
(5x - 7)x = (4x - 3)(x - 3)
Шаг 3: Раскроем скобки:
Левое: 5x^2 - 7x
Правое: (4x)(x - 3) - 3(x - 3) = 4x^2 - 12x - 3x + 9 = 4x^2 - 15x + 9
Шаг 4: Запишем уравнение:
5x^2 - 7x = 4x^2 - 15x + 9
Шаг 5: Перенесем все влево:
5x^2 - 7x - 4x^2 + 15x - 9 = 0
Упростим:
(5x^2 - 4x^2) + (-7x + 15x) - 9 = 0
x^2 + 8x - 9 = 0
Шаг 6: Решим квадратное уравнение:
D = 8^2 - 41(-9) = 64 + 36 = 100
Корни:
x = (\frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2})
x₁ = (\frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1)
x₂ = (\frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9)
Шаг 7: Проверка исключений:
x ≠ 3, x ≠ 0 (так как деление на ноль).
Наши корни: 1 и -9 — оба допустимы.
Ответ:
(\boxed{x = 1 \text{ или } x = -9})
7. Два велосипедиста одновременно отправились в 96-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 4 км/ч большей, чем второй, и прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым.
Обозначим:
- скорость второго велосипедиста: (v) км/ч
- скорость первого: (v + 4) км/ч
Время:
- второй: (t_2 = \frac{96}{v}) часов
- первый: (t_1 = \frac{96}{v + 4}) часов
По условию: первый приехал раньше на 4 часа:
(\frac{96}{v} - \frac{96}{v + 4} = 4)
Шаг 1: Решим уравнение:
(\frac{96}{v} - \frac{96}{v + 4} = 4)
Шаг 2: Объединимleft-часть:
(\frac{96(v + 4) - 96v}{v(v + 4)} = 4)
Шаг 3: Раскроем числитель:
(96v + 384 - 96v = 384)
Итак, уравнение:
(\frac{384}{v(v + 4)} = 4)
Шаг 4: Умножим обе части на (v(v + 4)):
384 = 4 v(v + 4)
Шаг 5: Раскроем правую часть:
384 = 4 (v^2 + 4v)
Шаг 6: Делим обе стороны на 4:
96 = v^2 + 4v
Шаг 7: Перенесем все в левую часть:
v^2 + 4v - 96 = 0
Шаг 8: Решим квадратное уравнение:
D = 4^2 - 41(-96) = 16 + 384 = 400
Корни:
v = (\frac{-4 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{-4 \pm 20}{2})
Варианты:
- (v = \frac{-4 + 20}{2} = \frac{16}{2} = 8)
- (v = \frac{-4 - 20}{2} = \frac{-24}{2} = -12)
Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем:
(v = 8) км/ч
Первый велосипедист:
v + 4 = 12 км/ч
Ответ:
Скорость первого велосипедиста — 12 км/ч
Если у вас есть ещё вопросы или нужна дополнительная помощь — обращайтесь!
