Решите

Давайте разберёмся с задачей поэтапно. **Дано:** - Треугольник \( ABC \), где прямая, параллельная стороне \( AC \), пересекает стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно. - \( MN \parallel AC \) - \( MN \) пересекает \( AB \) в точке \( M \), а \( BC \) — в точке \( N \). - \( MN = 13 \) - \( AC = 65 \) - \( NC = 28 \) - Необходимо найти \( BN \). --- ### Шаг 1: Используем свойства подобия Поскольку \( MN \parallel AC \), то треугольники \( ABM \) и \( ABC \) — подобны по признаку равенства углов, так как соответствующие углы, образованные параллельной линией, равны. Аналогично, треугольники \( BCN \) и \( ABC \) также подобны. --- ### Шаг 2: Определяем соотношение сторон - В треугольнике \( ABC \) стороны \( AB \), \( BC \), \( AC \). - В треугольнике \( ABM \) — стороны \( AB \) и \( AM \). - В треугольнике \( BCN \), стороны \( BC \) и \( BN \). Из подобных треугольников следует, что: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC} \quad \text{и} \quad \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \] --- ### Шаг 3: Вычисляем \( AM \) Так как \( MN \parallel AC \), то \( M \) и \( N \) делят стороны \( AB \) и \( BC \) пропорционально. Обозначим: - \( AB = x \), - \( BC = y \), - \( AM = x_1 \), - \( BN = y_1 \). Тогда по аналогии: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC} \Rightarrow \frac{x_1}{x} = \frac{13}{65} = \frac{1}{5} \] Следовательно: \[ x_1 = \frac{x}{5} \] Точно так же для стороны \( BC \): \[ \frac{BN}{BC} = \frac{13}{65} = \frac{1}{5} \] и \[ BN = \frac{y}{5} \] --- ### Шаг 4: Находим \( BN \) Зная, что \( NC = 28 \) и \( N \) — точка на стороне \( BC \), то отрезки \( BN \) и \( NC \) делят сторону \( BC \). Так как: \[ BN + NC = BC \] и \[ BN = \frac{y}{5} \] то: \[ \frac{y}{5} + 28 = y \] Решим это уравнение: \[ \frac{y}{5} + 28 = y \] \[ 28 = y - \frac{y}{5} = \frac{5y - y}{5} = \frac{4y}{5} \] Перемножим обе части на 5: \[ 28 \times 5 = 4y \] \[ 140 = 4y \] \[ y = \frac{140}{4} = 35 \] Теперь найдём \( BN \): \[ BN = \frac{y}{5} = \frac{35}{5} = 7 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{BN=7} \] Если есть дополнительные вопросы или нужна более детальная информация, с удовольствием помогу!