Решить

Давайте решим задачу по шагам: **Дано:** Диагональ прямоугольника образует угол 42° с одной из его сторон. Нужно найти острый угол между диагоналями этого прямоугольника. **Обозначения:** Пусть у прямоугольника стороны — \( a \) и \( b \). Диагональ — \( d \). Угол между диагональю и стороной: 42°. --- ### Шаг 1. Найти угол между сторонами и диагональю Так как диагональ образует угол 42° с одной из сторон, предположим, что это с боковой стороной \( a \). Это означает, что: \[ \cos 42^\circ = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{d} \] или \[ a = d \cos 42^\circ \] Аналогично, по теореме косинусов: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] Обратим внимание, что диагональ образует данный угол с одной стороны. Тогда известна величина этого угла, и мы можем перейти к: --- ### Шаг 2. Определение углов между диагональю и сторонами Поскольку прямоугольник — это фигура с прямыми углами, диагонали пересекаются и образуют между собой острый угол, который нужно найти. Диагональ образует с каждой сторон угол 42°. Тогда: - Угол между стороной \( a \) и диагональю = 42° - Угол между стороной \( b \) и диагональю = также 42°, но в разной ориентации. Обозначим: - \( \alpha \) — угол между диагональю и стороной \( a \) - \( \beta \) — угол между диагональю и стороной \( b \) Из условий задачи: \( \alpha = 42^\circ \), что значит, угол между диагональю и стороной \( a \). --- ### Шаг 3. Найти угол между диагоналями Диагонали прямоугольника пересекаются, делят друг друга пополам и образуют острый угол \( \gamma \). Через свойства прямоугольника: - Диагонали равны и пересекаются под равными углами. - Угол, образованный диагоналями, состоит из двух углов, образованных линиями, которых мы нашли. Это классическая геометрическая задача: угол между диагоналями равен: \[ \text{Угол между диагоналями} = 2 \times \phi \] где \( \phi \) — острый угол между диагональю и стороной, который равен 42°. Тогда: \[ \text{угол между диагоналями} = 2 \times 42^\circ = 84^\circ \] Но это не соответствует задаче напрямую. Давайте уточним. --- ### Шаг 4. Правильный вывод По свойствам прямоугольника: - Угол между двумя диагоналями равен: \[ \text{угол между диагоналями} = 2 \times \theta, \] где \( \theta \) — угол между диагональю и стороной. Углы у диогоналей с разными сторонами равны, и угол между диагоналями равен: \[ \boxed{ \theta_1 + \theta_2 } \] где \( \theta_1 \) и \( \theta_2 \) — углы между диагональю и сторонами. Известно, что диагональ образует угол 42° с одной стороны, значит: - Угол между диагональю и этой стороной = 42°, - Угол между диагональю и соседней стороной = \( 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ \). Потому что внутри прямоугольника сумма углов у пересекающейся диагонали равна 90°, ведь стороны перпендикулярны. --- ### Итог: - Угол между диагоналями — это сумма двух этих уголков (по свойствам перпендикулярных линий и углов внутри прямоугольника): \[ \boxed{ 42^\circ + 48^\circ = 90^\circ } \] *** ### **Ответ:** **Острый угол между диагоналями прямоугольника равен 90°.**