Рассмотрим задачу подробно.
Дано:
- Расстояние до города: 20 км.
- Первый турист идёт быстрее второго на 1 км/ч.
- Первый турист прибывает на час раньше второго.
Обозначим:
- скорость второго туриста — ( v ) км/ч.
- скорость первого туриста — ( v + 1 ) км/ч.
Пусть время, за которое идёт второй турист, равно ( t ) часов. Тогда время первого туриста будет ( t - 1 ) часов (так как он приезжает на час раньше).
Запишем выражения для пройденного расстояния:
- Для второго туриста: ( 20 = v \times t ).
- Для первого туриста: ( 20 = (v + 1) \times (t - 1) ).
Теперь выразим ( t ) через ( v ):
[
t = \frac{20}{v}
]
Подставим это в уравнение для первого туриста:
[
20 = (v + 1) \times \left( \frac{20}{v} - 1 \right)
]
Раскроем скобки и упростим выражение:
[
20 = (v + 1) \times \left( \frac{20 - v}{v} \right)
]
Обратим внимание: (\frac{20 - v}{v} = \frac{20}{v} - 1 ).
Итак,
[
20 = (v + 1) \times \left( \frac{20 - v}{v} \right)
]
Перемножим:
[
20 = \frac{(v + 1)(20 - v)}{v}
]
Умножим обе части уравнения на ( v ):
[
20v = (v + 1)(20 - v)
]
Раскроем скобки справа:
[
20v = (v)(20 - v) + 1 \times (20 - v)
]
[
20v = 20v - v^2 + 20 - v
]
Объединим подобные члены:
[
20v = 20v - v^2 + 20 - v
]
Вычтем ( 20v ) из обеих частей:
[
0 = - v^2 + 20 - v
]
Перенесем все в левую сторону:
[
v^2 + v - 20 = 0
]
Это квадратное уравнение. Решим его по формуле дискриминанта:
[
D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 1 + 80 = 81
]
Корни:
[
v = \frac{ -1 \pm \sqrt{81} }{ 2 } = \frac{ -1 \pm 9 }{ 2 }
]
Два варианта:
- (\displaystyle v = \frac{ -1 + 9 }{ 2 } = \frac{8}{2} = 4)
- (\displaystyle v = \frac{ -1 - 9 }{ 2 } = \frac{ -10 }{ 2 } = -5)
Скорость не может быть отрицательной, потому что это физический параметр. Значит, искомая скорость второго туриста:
[
\boxed{v = 4 \text{ км/ч}}
]
Ответ: скорость второго туриста — 4 км/ч.
