Исследуйте с помощью производной функцию х/4-х²

Рассмотрим функцию: \[ f(x) = \frac{x}{4} - x^2 \] Цель: понять её поведение с помощью производной. --- ### Шаг 1: Запишем функцию и возьмем её производную Функция: \[ f(x) = \frac{x}{4} - x^2 \] Производная функции — это скорость изменения функции в каждой точке. Она поможет найти экстремумы (минимумы или максимумы), а также понять, где функция возрастает или убывает. --- ### Шаг 2: Найдём производную \(f'(x)\) Производная суммы равна sum of derivatives: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{4}\right) - \frac{d}{dx}(x^2) \] - Производная \( \frac{x}{4} \): \[ \frac{1}{4} \] - Производная \( x^2 \): \[ 2x \] Следовательно, \[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \] --- ### Шаг 3: Исследуем знак производной Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, найдём точки, где производная равна нулю: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{4} - 2x = 0 \] Решим уравнение: \[ 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8} \] Точка \( x = \frac{1}{8} \) — потенциальный экстремум. --- ### Шаг 4: Исследуем знаки производной на интервалах - Для \( x < \frac{1}{8} \): \[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \] Поскольку \( 2x \) будет меньше \( \frac{1}{4} \), то: \[ f'(x) > 0 \] Функция возрастает. - Для \( x > \frac{1}{8} \): \[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \] Теперь \( 2x > \frac{1}{4} \), значит: \[ f'(x) < 0 \] Функция убывает. --- ### Шаг 5: Итоговое описание - **Функция возрастает на интервале:** \((-\infty, \frac{1}{8})\) - **Область убывания:** \((\frac{1}{8}, +\infty)\) - В точке \( x=\frac{1}{8} \) — есть экстремум. Проверим его характер: Так как функция возрастает до этой точки и убывает после, то это — **максимум**. --- ### Итоговое решение: \[ f(x) = \frac{x}{4} - x^2 \] - **Производная:** \[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \] - **Точка экстремума:** \[ x = \frac{1}{8} \] - **Тип экстремума:** максимум (функция возрастает до \( \frac{1}{8} \), а после — убывает). Если нужна дополнительная информация — например, найти значение функции в точке экстремума или исследовать её на области, дайте знать!