исследуйте с помощью производной функцию х/4-х²
Рассмотрим функцию:
\[ f(x) = \frac{x}{4} - x^2 \]
Цель: понять её поведение с помощью производной.
Шаг 1: Запишем функцию и возьмем её производную
Функция:
\[ f(x) = \frac{x}{4} - x^2 \]
Производная функции — это скорость изменения функции в каждой точке. Она поможет найти экстремумы (минимумы или максимумы), а также понять, где функция возрастает или убывает.
Шаг 2: Найдём производную \(f'(x)\)
Производная суммы равна sum of derivatives:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{4}\right) - \frac{d}{dx}(x^2) \]
Производная \( \frac{x}{4} \):
\[ \frac{1}{4} \]Производная \( x^2 \):
\[ 2x \]
Следовательно,
\[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \]
Шаг 3: Исследуем знак производной
Чтобы понять, где функция возрастает или убывает, найдём точки, где производная равна нулю:
\[ f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{4} - 2x = 0 \]
Решим уравнение:
\[ 2x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1/4}{2} = \frac{1}{8} \]
Точка \( x = \frac{1}{8} \) — потенциальный экстремум.
Шаг 4: Исследуем знаки производной на интервалах
- Для \( x < \frac{1}{8} \):
\[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \]
Поскольку \( 2x \) будет меньше \( \frac{1}{4} \), то:
\[ f'(x) > 0 \]
Функция возрастает.
- Для \( x > \frac{1}{8} \):
\[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \]
Теперь \( 2x > \frac{1}{4} \), значит:
\[ f'(x) < 0 \]
Функция убывает.
Шаг 5: Итоговое описание
- Функция возрастает на интервале: \((-\infty, \frac{1}{8})\)
- Область убывания: \((\frac{1}{8}, +\infty)\)
- В точке \( x=\frac{1}{8} \) — есть экстремум. Проверим его характер:
Так как функция возрастает до этой точки и убывает после, то это — максимум.
Итоговое решение:
\[ f(x) = \frac{x}{4} - x^2 \]
- Производная:
\[ f'(x) = \frac{1}{4} - 2x \] - Точка экстремума:
\[ x = \frac{1}{8} \] - Тип экстремума: максимум (функция возрастает до \( \frac{1}{8} \), а после — убывает).
Если нужна дополнительная информация — например, найти значение функции в точке экстремума или исследовать её на области, дайте знать!
