Сплав золота и серебра массой 400г имеет плотность 14000 кг?/м³. полагая объем сплава равным сумме объемом его составных частей, определить массу золота и его процентное содержание в сплаве

Давайте подробно разберем задачу. **Дано:** - Общая масса сплава: \( m_{\text{общ}} = 400 \text{ г} \) - Плотность сплава: \( \rho_{\text{сплава}} = 14\,000 \text{ кг/м}^3 \) **Нужно:** - Масса золота \( m_{\text{золота}} \) - Процентное содержание золота в сплаве --- ### Шаг 1. Приведение данных к однородным единицам Масса дана в граммах, а плотность — в кг/м³. Переведем массу в кг: \[ m_{\text{сплава}} = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг} \] --- ### Шаг 2. Обозначаем неизвестные Обозначим: - \( m_{\text{золота}} = x \) кг - Тогда масса серебра: \( m_{\text{серебра}} = 0.4 - x \) кг Объем каждого компонента: - \( V_{\text{золота}} = \frac{m_{\text{золота}}}{\rho_{\text{золота}}} \) - \( V_{\text{серебра}} = \frac{m_{\text{серебра}}}{\rho_{\text{серебра}}} \) Плотности: - Золото: \( \rho_{\text{золота}} \approx 19300 \text{ кг/м}^3 \) - Серебро: \( \rho_{\text{серебра}} \approx 10490 \text{ кг/м}^3 \) Объем сплава: \[ V_{\text{сплава}} = V_{\text{золота}} + V_{\text{серебра}} \] Но так как плотность сплава — известна, можно найти его объем: \[ V_{\text{сплава}} = \frac{m_{\text{сплава}}}{\rho_{\text{сплава}}} = \frac{0.4}{14000} \text{ м}^3 \] Рассчитаем: \[ V_{\text{сплава}} = \frac{0.4}{14000} \approx 2.857 \times 10^{-5} \text{ м}^3 \] --- ### Шаг 3. Записываем уравнение объема Поскольку объем сплава равен сумме объемов его частей: \[ V_{\text{золота}} + V_{\text{серебра}} = 2.857 \times 10^{-5} \text{ м}^3 \] Подставляем выражения для объемов: \[ \frac{x}{19300} + \frac{0.4 - x}{10490} = 2.857 \times 10^{-5} \] --- ### Шаг 4. Решим уравнение Находим общий знаменатель и решаем: \[ \frac{x}{19300} + \frac{0.4 - x}{10490} = 2.857 \times 10^{-5} \] Упростим: \[ \frac{x \times 10490 + (0.4 - x) \times 19300}{19300 \times 10490} = 2.857 \times 10^{-5} \] Посчитаем числитель: \[ x \times 10490 + 0.4 \times 19300 - x \times 19300 = (10490 - 19300) x + 0.4 \times 19300 \] \[ = -8820 x + 7720 \] Знаменатель: \[ 19300 \times 10490 \approx 2.028 \times 10^8 \] Получаем уравнение: \[ \frac{-8820 x + 7720}{2.028 \times 10^8} = 2.857 \times 10^{-5} \] Умножим обе части на знаменатель: \[ -8820 x + 7720 = 2.857 \times 10^{-5} \times 2.028 \times 10^8 \] Посчитаем правую часть: \[ 2.857 \times 10^{-5} \times 2.028 \times 10^8 \approx (2.857 \times 2.028) \times 10^{(-5 + 8)} = 5.794 \times 10^{3} = 5794 \] Теперь решаем: \[ -8820 x + 7720 = 5794 \] Отнимаем 7720: \[ -8820 x = 5794 - 7720 = -1926 \] Делим на -8820: \[ x = \frac{-1926}{-8820} \approx 0.2184 \text{ кг} \] --- ### **Ответ:** - Масса золота \( \boxed{\approx 0.218 \text{ кг} = 218 \text{ г}} \) - Масса серебра: \( 0.4 - 0.218 = 0.182 \text{ кг} = 182 \text{ г} \) --- ### **Процентное содержание золота:** \[ \frac{0.218}{0.4} \times 100\% \approx 54.5\% \] --- ## Итог: **Масса золота в сплаве примерно 218 г, его содержание — около 54.5%.**