Катер за 7 часов проплыл 24 км против течения и вернулся обратно. Найди скорость катера по озеру, если скорость течения равна 1 км/ч. Скорость катера по озеру равна км/ч.

Давайте разберёмся с задачей поэтапно.

В условии:

• Катер проплыл 24 км против течения за 7 часов.
• Он вернулся обратно по тому же маршруту.
• Скорость течения равна 1 км/ч.
• Необходимо найти скорость катера по озеру, то есть свою собственную скорость в неподвижной воде (обозначим её как \( v \) км/ч).

Обозначения:

• \( v \) — скорость катера по озеру (независимая от течения).
• \( t_1 \) — время на путь против течения.
• \( t_2 \) — время на путь по течению.
• Общая длина пути — 24 км, на каждом участке — 12 км (так как в обе стороны).

Шаг 1: Определение скоростей на каждом участке

• Против течения: скорость катера — \( v - 1 \) км/ч.
• По течению: скорость катера — \( v + 1 \) км/ч.

Шаг 2: Время на каждом участке

• Время против течения: \[ t_1 = \frac{12}{v - 1} \]
• Время по течению: \[ t_2 = \frac{12}{v + 1} \]

Общее время — 7 часов, учитывая, что это общее время на оба маршрута: \[ t_1 + t_2 = 7 \] подставим: \[ \frac{12}{v - 1} + \frac{12}{v + 1} = 7 \]

Шаг 3: Решение уравнения

Запишем: \[ \frac{12}{v - 1} + \frac{12}{v + 1} = 7 \]

Найдем общий знаменатель: \[ \frac{12(v + 1) + 12(v - 1)}{(v - 1)(v + 1)} = 7 \]

Раскроем числитель: \[ 12v + 12 + 12v - 12 = 24v \]

Общий знаменатель: \[ v^2 - 1 \]

В итоге: \[ \frac{24v}{v^2 - 1} = 7 \]

Шаг 4: Решение полученного уравнения

Перемножим обе части на \( v^2 - 1 \): \[ 24v = 7(v^2 - 1) \] Раскроем скобки: \[ 24v = 7v^2 - 7 \]

Перенесем все в левую часть: \[ 7v^2 - 24v - 7 = 0 \]

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Используем формулу для решений: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где:

• \( a = 7 \),
• \( b = -24 \),
• \( c = -7 \).

Подставляем: \[ v = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-7)}}{2 \cdot 7} \] Посчитаем дискриминант: \[ (-24)^2 = 576 \] \[ -4 \cdot 7 \cdot (-7) = 196 \] Итак: \[ \sqrt{576 + 196} = \sqrt{772} \]

Это приблизительно: \[ \sqrt{772} \approx 27.78 \]

Подставляем: \[ v = \frac{24 \pm 27.78}{14} \]

Два возможных варианта:

1. \[ v = \frac{24 + 27.78}{14} \approx \frac{51.78}{14} \approx 3.70 \] 2. \[ v = \frac{24 - 27.78}{14} \approx \frac{-3.78}{14} \approx -0.27 \]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный вариант:

\[ \boxed{ v \approx 3.70\, \text{км/ч} } \]

Ответ:

Скорость катера по озеру равна примерно 3.7 км/ч.