Игральную кость бросают дважды. Случайная величина X − произведение выпавших очков. Составьте распределение случайной величины X и найдите вероятность события 5 ≤ X ≤ 16 .
Давайте поэтапно решим задачу.
Задача: Игральную кость бросают дважды. Обозначим случайную величину \(X\) — произведение очков, выпавших при двух бросках. Нужно найти распределение \(X\) и вероятность события \(5 \leq X \leq 16\).
Шаг 1. Определение области возможных исходов
- Каждое бросание костью — это случайное событие, где результаты — целые числа от 1 до 6.
- Всего возможных исходов при двух бросках: \(6 \times 6 = 36\).
Обозначим:
- первый бросок — \(a\),
- второй — \(b\).
Тогда исходы: \((a, b)\), где \(a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\).
Шаг 2. Значения случайной величины \(X = a \times b\)
Нужно найти все возможные значения произведений и выбрать те, которые лежат в диапазоне \(5 \leq X \leq 16\).
Шаг 3. Нахождение всех пар \((a, b)\) и их произведений
Рассмотрим все пары и их произведения. Запишем возможные значения \(X\):
| \(a \backslash b\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
Теперь выделим все значения из диапазона \(5 \leq X \leq 16\):
Значения равные или превышающие 5 и не превышающие 16 — это:
\(5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16\).
Шаг 4. Подбор пар \((a, b)\) для каждого значения
- \(X=5\): \((1,5)\), \((5,1)\)
- \(X=6\): \((1,6)\), \((6,1)\), \((2,3)\), \((3,2)\)
- \(X=8\): \((2,4)\), \((4,2)\)
- \(X=9\): \((3,3)\)
- \(X=10\): \((2,5)\), \((5,2)\)
- \(X=12\): \((2,6)\), \((6,2)\), \((3,4)\), \((4,3)\)
- \(X=15\): \((3,5)\), \((5,3)\)
- \(X=16\): \((4,4)\)
Шаг 5. Подсчет вероятностей
Количество исходов, при которых \(X\) принимает указанное значение, — это число вариантов из таблицы.
Всего исходов: 36.
Вероятность каждого исхода — \(\frac{1}{36}\).
Теперь вычислим вероятность события \(5 \leq X \leq 16\):
\[ P(5 \leq X \leq 16) = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{36} \]
Посчитаем число благоприятных:
- \(X=5\): 2 исхода
- \(X=6\): 4 исхода
- \(X=8\): 2 исхода
- \(X=9\): 1 исход
- \(X=10\): 2 исхода
- \(X=12\): 4 исхода
- \(X=15\): 2 исхода
- \(X=16\): 1 исход
Общее число: \(2+4+2+1+2+4+2+1 = 18\).
Ответ:
\[ \boxed{ P(5 \leq X \leq 16) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} } \]
Итог:
- Распределение \(X\): Значения \(X\) в диапазоне от 1 до 36, с непрерывными вероятностями с равной вероятностью для каждого исхода.
- Вероятность события \(5 \leq X \leq 16\): \(\boxed{\frac{1}{2}}\).
Если нужны более подробные объяснения или распределения по конкретным значениям — скажите!
