Выясни являются ли заданные события независимыми пусть брошены три уравновешенные монеты события а монеты один и два упали одной и той же стороной события б монеты два и три упали…
Выясни являются ли заданные события независимыми пусть брошены три уравновешенные монеты события а монеты один и два упали одной и той же стороной события б монеты два и три упали одной и той же стороной события Ц монеты один и три упали одной и той же стороной
Рассмотрим события:
- А: Монеты 1 и 2 выпали одной и той же стороной.
- B: Монеты 2 и 3 выпали одной и той же стороной.
- C: Монеты 1 и 3 выпали одной и той же стороной.
Каждая монета — это независимое равновероятное событие, то есть вероятность "орёл" или "решка" равна 1/2.
Общая вероятность любого конкретного события: Всего исходов — 2^3 = 8.
Перечислим все возможные исходы (монеты 1, 2, 3):
- (О, О, О)
- (О, О, Р)
- (О, Р, О)
- (О, Р, Р)
- (Р, О, О)
- (Р, О, Р)
- (Р, Р, О)
- (Р, Р, Р)
Теперь найдем вероятности событий:
- А: Монеты 1 и 2 однажды выпали одинаковой стороной.
Исходы, где 1 и 2 одинаковы:
- (О, О, О)
- (О, О, Р)
- (Р, О, О)
- (Р, Р, Р)
Вероятность А: \[ P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
- B: Монеты 2 и 3 одинаковы:
Исходы:
- (О, О, О)
- (О, Р, О)
- (Р, О, О)
- (Р, Р, Р)
Вероятность B: \[ P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
- C: Монеты 1 и 3 одинаковы:
Исходы:
- (О, О, О)
- (О, О, Р)
- (О, Р, О)
- (Р, О, Р)
- (Р, Р, Р)
Проверим исходы:
- (О, О, О): 1 и 3 одинаковы
- (О, О, Р): 1 и 3 одинаковы
- (О, Р, О): 1 и 3 одинаковы
- (Р, О, Р): 1 и 3 одинаковы
- (Р, Р, Р): 1 и 3 одинаковы
Вероятность C: \[ P(C) = \frac{5}{8} \]
Проверка независимости:
Два события A и B независимы, если: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Найдем \( P(A \cap B) \):
Исходы, где:
- 1 и 2 одинаковы (A)
- 2 и 3 одинаковы (B)
Из перечня:
(О, О, О), (Р, Р, Р)
Только эти два исхода подходят, поскольку:
- (О, О, О): 1 и 2 одинаковы; 2 и 3 одинаковы
- (Р, Р, Р): 1 и 3 одинаковы, а 2 и 3 одинаковы, следовательно, 1 и 2 тоже одинаковы.
Вероятность: \[ P(A \cap B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Рассчитаем \( P(A) \cdot P(B) \): \[ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Совпадает. Значит, A и B независимы.
Проверим A и C:
- \( P(A) = \frac{1}{2} \)
- \( P(C) = \frac{5}{8} \)
Найдем \( P(A \cap C) \):
Исходы, где 1 и 2 одинаковы (A) и 1 и 3 одинаковы (C):
- (О, О, О): 1 и 2 одинаковы и 1 и 3 одинаковы
- (Р, О, Р): 1 и 2 разные, 1 и 3 одинаковы → не подходит
- (О, Р, О): 1 и 2 разные → не подходит
- (О, Р, Р): 1 и 2 разные
- (Р, О, О): 1 и 2 разные
- (Р, О, Р): 1 и 2 разные
- (Р, Р, О): 1 и 3 разные
- (Р, Р, Р): 1 и 2 одинаковы, 1 и 3 одинаковы
Итак, подходящие исходы:
- (О, О, О)
- (Р, Р, Р)
Вероятность: \[ P(A \cap C) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Проверка независимости: \[ P(A) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{16} = 0.3125 \]
Но \( P(A \cap C) = 0.25 \neq 0.3125 \), следовательно, A и C не являются независимыми.
Аналогично проверим B и C:
- \( P(B) = \frac{1}{2} \)
- \( P(C) = \frac{5}{8} \)
Найдем \( P(B \cap C) \):
Исходы, где 2 и 3 одинаковы и 1 и 3 одинаковы:
- (О, О, О): 2 и 3 одинаковы, 1 и 3 одинаковы
- (Р, Р, Р): 2 и 3 одинаковы, 1 и 3 одинаковы
Вероятность: \[ P(B \cap C) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Проверим: \[ P(B) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{16} = 0.3125 \neq 0.25 \]
Значит, B и C тоже не независимы.
Вывод:
- События A и B независимы.
- События A и C не независимы.
- События B и C не независимы.
Ответ: Только события А и Б являются независимыми.
