Выясни являются ли заданные события независимыми пусть брошены три уравновешенные монеты события а монеты один и два упали одной и той же стороной события б монеты два и три упали одной и той же стороной события Ц монеты один и три упали одной и той же стороной

Рассмотрим события: - А: Монеты 1 и 2 выпали одной и той же стороной. - B: Монеты 2 и 3 выпали одной и той же стороной. - C: Монеты 1 и 3 выпали одной и той же стороной. Каждая монета — это независимое равновероятное событие, то есть вероятность "орёл" или "решка" равна 1/2. **Общая вероятность любого конкретного события:** Всего исходов — 2^3 = 8. Перечислим все возможные исходы (монеты 1, 2, 3): 1. (О, О, О) 2. (О, О, Р) 3. (О, Р, О) 4. (О, Р, Р) 5. (Р, О, О) 6. (Р, О, Р) 7. (Р, Р, О) 8. (Р, Р, Р) Теперь найдем вероятности событий: - **А:** Монеты 1 и 2 однажды выпали одинаковой стороной. Исходы, где 1 и 2 одинаковы: 1. (О, О, О) 2. (О, О, Р) 5. (Р, О, О) 8. (Р, Р, Р) Вероятность А: \[ P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] - **B:** Монеты 2 и 3 одинаковы: Исходы: 1. (О, О, О) 3. (О, Р, О) 5. (Р, О, О) 8. (Р, Р, Р) Вероятность B: \[ P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] - **C:** Монеты 1 и 3 одинаковы: Исходы: 1. (О, О, О) 2. (О, О, Р) 3. (О, Р, О) 6. (Р, О, Р) 8. (Р, Р, Р) Проверим исходы: - (О, О, О): 1 и 3 одинаковы - (О, О, Р): 1 и 3 одинаковы - (О, Р, О): 1 и 3 одинаковы - (Р, О, Р): 1 и 3 одинаковы - (Р, Р, Р): 1 и 3 одинаковы Вероятность C: \[ P(C) = \frac{5}{8} \] --- **Проверка независимости:** Два события A и B независимы, если: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Найдем \( P(A \cap B) \): Исходы, где: - 1 и 2 одинаковы (A) - 2 и 3 одинаковы (B) Из перечня: (О, О, О), (Р, Р, Р) Только эти два исхода подходят, поскольку: - (О, О, О): 1 и 2 одинаковы; 2 и 3 одинаковы - (Р, Р, Р): 1 и 3 одинаковы, а 2 и 3 одинаковы, следовательно, 1 и 2 тоже одинаковы. Вероятность: \[ P(A \cap B) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Рассчитаем \( P(A) \cdot P(B) \): \[ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Совпадает. Значит, A и B **независимы**. --- Проверим A и C: - \( P(A) = \frac{1}{2} \) - \( P(C) = \frac{5}{8} \) Найдем \( P(A \cap C) \): Исходы, где 1 и 2 одинаковы (A) и 1 и 3 одинаковы (C): - (О, О, О): 1 и 2 одинаковы и 1 и 3 одинаковы - (Р, О, Р): 1 и 2 разные, 1 и 3 одинаковы → не подходит - (О, Р, О): 1 и 2 разные → не подходит - (О, Р, Р): 1 и 2 разные - (Р, О, О): 1 и 2 разные - (Р, О, Р): 1 и 2 разные - (Р, Р, О): 1 и 3 разные - (Р, Р, Р): 1 и 2 одинаковы, 1 и 3 одинаковы Итак, подходящие исходы: - (О, О, О) - (Р, Р, Р) Вероятность: \[ P(A \cap C) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Проверка независимости: \[ P(A) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{16} = 0.3125 \] Но \( P(A \cap C) = 0.25 \neq 0.3125 \), следовательно, **A и C не являются независимыми**. --- Аналогично проверим B и C: - \( P(B) = \frac{1}{2} \) - \( P(C) = \frac{5}{8} \) Найдем \( P(B \cap C) \): Исходы, где 2 и 3 одинаковы и 1 и 3 одинаковы: - (О, О, О): 2 и 3 одинаковы, 1 и 3 одинаковы - (Р, Р, Р): 2 и 3 одинаковы, 1 и 3 одинаковы Вероятность: \[ P(B \cap C) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] Проверим: \[ P(B) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{16} = 0.3125 \neq 0.25 \] Значит, **B и C тоже не независимы**. --- **Вывод:** - **События A и B независимы.** - **События A и C не независимы.** - **События B и C не независимы.** **Ответ:** Только события А и Б являются независимыми.