Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Най-дите площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30°, вписанного в данную окружность.

Рассмотрим задачи пошагово:

1. Модель квадрата и окружности: Имеется квадрат со стороной \( 8\,\text{см} \). Он описан около окружности, то есть окружность, которая касается всех четырёх сторон квадрата.

2. Радиус описанной окружности: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата.

   Диагональ квадрата: \[ d = a \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}\,\text{см} \]

   Радиус окружности: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{8 \sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2}\,\text{см} \]

3. Дана окружность и вписанный в неё треугольник: Внутри окружности расположен прямоугольный треугольник с одним острым углом \( 30^\circ \). Требуется найти его площадь.

4. Условия для вписанного треугольника:

   • Треугольник вписан в окружность, и его вершины лежат на окружности.
   • В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это диаметр окружности, в которую он вписан.

   Поскольку треугольник прямой, вписанный в окружность, и содержит острый угол \(30^\circ\), важный момент:

   • Вписанный в окружность прямой треугольник: катеты — это двусторонние стороны, и гипотенуза — диаметр окружности.
   • В нашем случае, поскольку треугольник прямой и вписан в окружность радиуса \( R \), и один из углов — \( 30^\circ \), то гипотенуза равна диаметр \( 2R \), а стороны, входящие в угол \(30^\circ\), связаны с этой горизонтуальной линией.

5. Положение вершины с углом \(30^\circ\): Пусть вершина с углом \(30^\circ\) — это вершина \( A \), а вершины \( B \) и \( C \) лежат на окружности.

   В прямоугольном треугольнике:

   • угол \(A = 30^\circ\),
   • гипотенуза \( BC = 2R \),
   • стороны \( AB \) и \( AC \) — катеты.

6. Найти стороны треугольника: В прямом треугольнике с острым углом \(30^\circ\): \[ \sin 30^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text гипотенузе} = \frac{\text{катет } AB}{BC} \] \[ \cos 30^\circ = \frac{\text{\adjacent катет}}{BC} \]

   Тогда: \[ AB = BC \times \sin 30^\circ = 2R \times \frac{1}{2} = R \]

   \[ AC = BC \times \cos 30^\circ = 2R \times \frac{\sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3} \]

   Значит, \[ AB = R, \quad AC = R \sqrt{3} \]

7. Подставим \( R = 4 \sqrt{2} \): \[ AB = 4 \sqrt{2} \] \[ AC = 4 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = 4 \sqrt{6} \]

8. Найти площадь треугольника: Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin 90^\circ \]

   • Тут, поскольку \( AB \) и \( AC \) образуют угол \(90^\circ\) (так как гипотенуза — диаметр, и \(A\) — вершина с углом \(30^\circ\)), то их скалярное произведение равно их произведению на косинус угла между ними.

   Однако, уясним: так как треугольник прямой, и его гипотенуза — диаметр, и вершина \(A\) — это вершина с углом \(30^\circ\), то угол между катетами \(AB\) и \(AC\) — \(90^\circ\) (или не?)

   Важно: В прямоугольном треугольнике, у вершины с углом \(30^\circ\), другие два угла — \(60^\circ\) и \(90^\circ\). Самые стороны:

   • Катет напротив \(30^\circ\) — \( R \),
   • Катет напротив \(60^\circ\) — \( R \sqrt{3} \).

   Это соответствует нашим вычислениям.

   • Тогда стороны \( AB \) и \( AC \) — катеты, образующие прямой угол.

   Следовательно, площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times R \times R \sqrt{3} = \frac{1}{2} R^2 \sqrt{3} \]

9. Вычислим площадь: \[ R = 4 \sqrt{2} \Rightarrow R^2 = (4 \sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \]

   Тогда: \[ S = \frac{1}{2} \times 32 \times \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Площадь треугольника} = 16 \sqrt{3}\ \text{см}^2 } \]