№ 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом и подробно объясним каждое действие. **Дано:** - Радиус окружности, \( R = 14 \) см. - \(\angle FOK = 45^\circ\). - \(K\) — точка касания касательной \(FK\) с окружностью. - \(O\) — центр окружности. - \(F\) — точка, через которую проведена касательная \(FK\). Нам нужно найти длину отрезка \(FK\). --- ### Шаг 1: Что мы знаем о касательной и радиусе? - Всякий раз, когда касательная \(FK\) касается окружности в точке \(K\), то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \[ OK \perp FK \] - \(OK\) — радиус окружности, соединяющий центр \(O\) с точкой касания \(K\). ### Шаг 2: Построение и важные свойства - Рассмотрим треугольник \(O F K\): - \(OK\) — радиус, длина которого \(14\) см. - \(F K\) — искомый отрезок. - \(\angle F O K = 45^\circ\). - Так как \(OK \perp F K\), то треугольник \(O F K\) является прямоугольным, где: \[ \angle O K F = 90^\circ \] - В этом треугольнике \(O\) — центр, \(K\) — точка касания, \(F\) — точка внешней касательной. --- ### Шаг 3: Анализ треугольника \(O F K\) - В треугольнике \(O F K\): - \(\angle F O K\) — это угол между радиусом \(OK\) и линией \(OF\). - Дано, что \(\angle F O K = 45^\circ\). - Важно понять, что: \[ \angle F O K = 45^\circ \] и \[ OK \perp FK \] следовательно, \(\angle F O K\) — это угол между линией \(OF\) и радиусом \(OK\). --- ### Шаг 4: Использование свойства касательной - Так как \(OK \perp FK\), то: \[ \angle OKF = 90^\circ \] - Рассмотрим треугольник \(O F K\). В нем есть угол \(\angle F O K\) и известная длина гипотенузы \(OK = 14\) см. - Изменяя угол \(\angle F O K = 45^\circ\), можно применить тригонометрию для нахождения \(F K\): --- ### Шаг 5: Вспомогательная фигура и вычисление длины \(F K\) - Рассмотрим квадрат или прямоугольный треугольник, где \(OK\) — гипотенуза, а \(F K\) — катет, который нужно найти. - В треугольнике \(O F K\): - Угол \(\angle F O K = 45^\circ\). - Тогда стороны, образующие этот угол, связаны через тригонометрию. - Используем соотношение: \[ F K = OK \times \sin(45^\circ) \] или \[ F K = OK \times \cos(45^\circ) \] Поскольку угол \(45^\circ\), синус и косинус равны: \[ \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] --- ### Шаг 6: Финальный расчет Длина \(F K\): \[ F K = 14 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 14 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Сократим: \[ F K = 14 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \sqrt{2} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \boxed{F K = 7 \sqrt{2} \text{ см}} } \] или примерно: \[ F K \approx 7 \times 1.414 \approx 9.9 \text{ см} \] --- Если остались вопросы или потребуется более подробное объяснение — обращайтесь!