№ 2. К окружности с центром O проведена касательная FK (K — точка касания). Найдите отрезок FK, если радиус окружности равен 14 см и ∠FOK = 45°.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом и подробно объясним каждое действие.

Дано:

• Радиус окружности, \( R = 14 \) см.
• \(\angle FOK = 45^\circ\).
• \(K\) — точка касания касательной \(FK\) с окружностью.
• \(O\) — центр окружности.
• \(F\) — точка, через которую проведена касательная \(FK\).

Нам нужно найти длину отрезка \(FK\).

Шаг 1: Что мы знаем о касательной и радиусе?

• Всякий раз, когда касательная \(FK\) касается окружности в точке \(K\), то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:
  \[ OK \perp FK \]

• \(OK\) — радиус окружности, соединяющий центр \(O\) с точкой касания \(K\).

Шаг 2: Построение и важные свойства

• Рассмотрим треугольник \(O F K\):

  • \(OK\) — радиус, длина которого \(14\) см.
  • \(F K\) — искомый отрезок.
  • \(\angle F O K = 45^\circ\).

• Так как \(OK \perp F K\), то треугольник \(O F K\) является прямоугольным, где:

  \[ \angle O K F = 90^\circ \]

• В этом треугольнике \(O\) — центр, \(K\) — точка касания, \(F\) — точка внешней касательной.

Шаг 3: Анализ треугольника \(O F K\)

• В треугольнике \(O F K\):

  • \(\angle F O K\) — это угол между радиусом \(OK\) и линией \(OF\).
  • Дано, что \(\angle F O K = 45^\circ\).

• Важно понять, что:

  \[ \angle F O K = 45^\circ \]

  и

  \[ OK \perp FK \]

  следовательно, \(\angle F O K\) — это угол между линией \(OF\) и радиусом \(OK\).

Шаг 4: Использование свойства касательной

• Так как \(OK \perp FK\), то:

  \[ \angle OKF = 90^\circ \]

• Рассмотрим треугольник \(O F K\). В нем есть угол \(\angle F O K\) и известная длина гипотенузы \(OK = 14\) см.

• Изменяя угол \(\angle F O K = 45^\circ\), можно применить тригонометрию для нахождения \(F K\):

Шаг 5: Вспомогательная фигура и вычисление длины \(F K\)

• Рассмотрим квадрат или прямоугольный треугольник, где \(OK\) — гипотенуза, а \(F K\) — катет, который нужно найти.

• В треугольнике \(O F K\):

  • Угол \(\angle F O K = 45^\circ\).
  • Тогда стороны, образующие этот угол, связаны через тригонометрию.

• Используем соотношение:

\[ F K = OK \times \sin(45^\circ) \]

или

\[ F K = OK \times \cos(45^\circ) \]

Поскольку угол \(45^\circ\), синус и косинус равны:

\[ \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 6: Финальный расчет

Длина \(F K\):

\[ F K = 14 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 14 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Сократим:

\[ F K = 14 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \sqrt{2} \]

Ответ:

\[ \boxed{ \boxed{F K = 7 \sqrt{2} \text{ см}} } \]

или примерно:

\[ F K \approx 7 \times 1.414 \approx 9.9 \text{ см} \]

Если остались вопросы или потребуется более подробное объяснение — обращайтесь!