AB - диаметр окружности с центром в точке O, BC - хорда. Известно, что ∠AOC = 130°. Найдите градусные меры углов ΔBOC.

Давайте разберем задачу подробно и пошагово: **Дано:** - \( AB \) — диаметр окружности с центром в точке \( O \). - \( BC \) — хорда окружности. - \( \angle AOC = 130^\circ \). Требуется найти градусную меру углов \( \triangle BOC \). --- ### Шаг 1. Анализ данных и условие задачи - Так как \( AB \) — диаметр окружности с центром \( O \), то точка \( A \) лежит на окружности, и \( AB \) — диаметральная цепь. - \( A \) и \( B \) — точки, лежащие на окружности. - \( O \) — центр окружности. - \( \angle AOC = 130^\circ \) — угол, образованный радиусами \( OA \) и \( OC \). --- ### Шаг 2. Свойства диаметров и углов в окружности - Радиусы \( OA \) и \( OC \) — равны, так как они — радиусы окружности. - \( AB \) — диаметр, он проходит через центр \( O \). Тогда угол \( \angle AOB \) — равно \( 180^\circ \), так как это центральный угол, опирающийся на диаметр. --- ### Шаг 3. Анализ угла \( \angle AOC \) - Угол \( \angle AOC = 130^\circ \). - Радиусы \( OA \) и \( OC \) — равны (радиусы окружности). Рассмотрим треугольник \( AOC \): - Углы у радиусов \( OA \) и \( OC \) равны, так как радиусы равны, а точки \( A \) и \( C \) лежат на окружности. - Угол \( AOC \) — центральный, поэтому по свойствам центральных углов, он связан с дугой \( AC \). ### Шаг 4. Связь углов и дуг - Центральный угол \( \angle AOC = 130^\circ \), он опирается на дугу \( AC \). - В окружности: — Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (по свойствам). — Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. --- ### Шаг 5. Вывод и решение Рассмотрим треугольник \( BOC \): - Нам нужно найти его угол \( \angle BOC \). - Чтобы это сделать, достаточно понять, какая дуга окружности подразумевается. Здесь важно понять, какая дуга \( AC \) соответствует углу \( \angle AOC = 130^\circ \). Центральный угол \( \angle AOC \) опирается на дугу \( AC \). Поскольку \( AB \) — диаметр, то дуга \( AB \) — это полусфера, длиной \( 180^\circ \). Дуга \( AC \) составляет \( 130^\circ \). --- ### Шаг 6. Свойства углов, опирающихся на дуги - Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на дугу, равны половине measures соответствующей дуги. - Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \) — вписанные углы, опирающиеся на дуги, содержащие \( B \) и \( C \). Рассматриваем треугольник \( BOC \): - Углы при вершинах \( B \) и \( C \) — вписанные углы, опирающиеся на дуги, содержащие точку \( O \). - Центр \( O \) — центр окружности, а \( BC \) — хорда. --- ### Шаг 7. Вычисление углов \( \angle BOC \) - Согласно свойствам окружности, центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \), равен скорости дуги \( BC \). - Так как \( \angle AOC = 130^\circ \), то дуга \( AC \), на которую он опирается, равна \( 130^\circ \). - Остается понять, как дуги связаны. --- ### Итог: - Центр \( O \) соединяет радиусы \( OA \) и \( OC \). - Дуга \( AC \) — \( 130^\circ \), значит, Arch \( AC \) равна \( 130^\circ \). Аналогично, дуга \( BC \), на которую опирается угол \( \angle BOC \), является связанной с \( \angle AOC \). --- ### **Ответ:** **Градусная мера угла \( \angle BOC \) равна \( 50^\circ \).** --- ### **Обоснование:** - Полное описание дуг вокруг окружности — \( 360^\circ \). - Центральный угол \( \angle AOC = 130^\circ \) обозначает дугу \( AC \). - Оставшаяся дуга \( B \) и \( C \), не входящие в дугу \( AC \), в сумме дают \( 230^\circ \), из которых дуга \( BC \) — это половина этого, так как угол \( \angle BOC \) — центральный и все-таки ориентируется на дугу \( BC \). - В итоге, дуга \( BC \) — \( 2 \times \angle BOC \). - Значит: \[ 2 \times \angle BOC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ, \] или, проще говоря: \[ \angle BOC = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ, \] но так как это центральный угол, он равен дуге \( BC \): \[ \angle BOC = 50^\circ. \] --- ### Итог: **Градусная мера угла \( \angle BOC \) равна \( \boxed{50^\circ} \).**