AB - диаметр окружности с центром в точке O, BC - хорда. Известно, что ∠AOC = 130°. Найдите градусные меры углов ΔBOC.
Давайте разберем задачу подробно и пошагово:
Дано:
- \( AB \) — диаметр окружности с центром в точке \( O \).
- \( BC \) — хорда окружности.
- \( \angle AOC = 130^\circ \).
Требуется найти градусную меру углов \( \triangle BOC \).
Шаг 1. Анализ данных и условие задачи
- Так как \( AB \) — диаметр окружности с центром \( O \), то точка \( A \) лежит на окружности, и \( AB \) — диаметральная цепь.
- \( A \) и \( B \) — точки, лежащие на окружности.
- \( O \) — центр окружности.
- \( \angle AOC = 130^\circ \) — угол, образованный радиусами \( OA \) и \( OC \).
Шаг 2. Свойства диаметров и углов в окружности
- Радиусы \( OA \) и \( OC \) — равны, так как они — радиусы окружности.
- \( AB \) — диаметр, он проходит через центр \( O \). Тогда угол \( \angle AOB \) — равно \( 180^\circ \), так как это центральный угол, опирающийся на диаметр.
Шаг 3. Анализ угла \( \angle AOC \)
- Угол \( \angle AOC = 130^\circ \).
- Радиусы \( OA \) и \( OC \) — равны (радиусы окружности).
Рассмотрим треугольник \( AOC \):
- Углы у радиусов \( OA \) и \( OC \) равны, так как радиусы равны, а точки \( A \) и \( C \) лежат на окружности.
- Угол \( AOC \) — центральный, поэтому по свойствам центральных углов, он связан с дугой \( AC \).
Шаг 4. Связь углов и дуг
- Центральный угол \( \angle AOC = 130^\circ \), он опирается на дугу \( AC \).
- В окружности:
— Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (по свойствам). — Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Шаг 5. Вывод и решение
Рассмотрим треугольник \( BOC \):
- Нам нужно найти его угол \( \angle BOC \).
- Чтобы это сделать, достаточно понять, какая дуга окружности подразумевается.
Здесь важно понять, какая дуга \( AC \) соответствует углу \( \angle AOC = 130^\circ \).
Центральный угол \( \angle AOC \) опирается на дугу \( AC \).
Поскольку \( AB \) — диаметр, то дуга \( AB \) — это полусфера, длиной \( 180^\circ \).
Дуга \( AC \) составляет \( 130^\circ \).
Шаг 6. Свойства углов, опирающихся на дуги
- Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на дугу, равны половине measures соответствующей дуги.
- Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ACB \) — вписанные углы, опирающиеся на дуги, содержащие \( B \) и \( C \).
Рассматриваем треугольник \( BOC \):
- Углы при вершинах \( B \) и \( C \) — вписанные углы, опирающиеся на дуги, содержащие точку \( O \).
- Центр \( O \) — центр окружности, а \( BC \) — хорда.
Шаг 7. Вычисление углов \( \angle BOC \)
Согласно свойствам окружности, центральный угол, опирающийся на дугу \( BC \), равен скорости дуги \( BC \).
Так как \( \angle AOC = 130^\circ \), то дуга \( AC \), на которую он опирается, равна \( 130^\circ \).
Остается понять, как дуги связаны.
Итог:
- Центр \( O \) соединяет радиусы \( OA \) и \( OC \).
- Дуга \( AC \) — \( 130^\circ \), значит, Arch \( AC \) равна \( 130^\circ \).
Аналогично, дуга \( BC \), на которую опирается угол \( \angle BOC \), является связанной с \( \angle AOC \).
Ответ:
Градусная мера угла \( \angle BOC \) равна \( 50^\circ \).
Обоснование:
Полное описание дуг вокруг окружности — \( 360^\circ \).
Центральный угол \( \angle AOC = 130^\circ \) обозначает дугу \( AC \).
Оставшаяся дуга \( B \) и \( C \), не входящие в дугу \( AC \), в сумме дают \( 230^\circ \), из которых дуга \( BC \) — это половина этого, так как угол \( \angle BOC \) — центральный и все-таки ориентируется на дугу \( BC \).
В итоге, дуга \( BC \) — \( 2 \times \angle BOC \).
Значит: \[ 2 \times \angle BOC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ, \] или, проще говоря:
\[ \angle BOC = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ, \]
но так как это центральный угол, он равен дуге \( BC \): \[ \angle BOC = 50^\circ. \]
Итог:
Градусная мера угла \( \angle BOC \) равна \( \boxed{50^\circ} \).
