Вычислите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 15 м, а один из катетов составляет 75% другого.

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

• Гипотенуза \( c = 15 \) м
• Один катет равен 75% другого, то есть если обозначить один катет как \( a \), а другой как \( b \), то:
  \[ b = 0.75a \]

Нам нужно найти площадь прямоугольного треугольника.

Шаг 1: Запишем основные соотношения для прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Подставляем известно:
\[ a^2 + (0.75a)^2 = 15^2 \]

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим уравнение

\[ a^2 + (0.75)^2 a^2 = 225 \] \[ a^2 + 0.5625 a^2 = 225 \]

Объединим похожие слагаемые:
\[ (1 + 0.5625) a^2 = 225 \] \[ 1.5625 a^2 = 225 \]

Шаг 3: Найдём \( a^2 \)

\[ a^2 = \frac{225}{1.5625} \]

Вычислим:
\[ a^2 = \frac{225}{1.5625} \approx 144 \]

Теперь найдём \( a \):
\[ a = \sqrt{144} = 12 \]

Шаг 4: Найдём \( b \)

\[ b = 0.75a = 0.75 \times 12 = 9 \]

Шаг 5: Найдём площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника с катетами \( a \) и \( b \):
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставляем значения:
\[ S = \frac{1}{2} \times 12 \times 9 = 6 \times 9 = 54 \]

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника равна 54 квадратных метра.