Сторона квадрата равна 4√2. Найдите радиус окружно- сти, описанной около этого квадрата.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все вычисления.
Дано:
Длина стороны квадрата \( a = 4\sqrt{2} \)
Задача:
Найти радиус окружности, описанной около этого квадрата, то есть радиус описанной окружности \( R \).
Шаг 1: Что такое окружность, описанная около квадрата?
Рассмотрим квадрат со стороной \( a \).
Окружность, описанная около квадрата — это такая окружность, которая проходит через все четыре вершины квадрата.
Радиус этой окружности — это расстояние от центра квадрата до любой его вершины.
Шаг 2: Найдём центр квадрата и расстояние до вершины
Для такого квадрата радиус описанной окружности равен расстоянию от центра квадрата до любой его вершины.
Шаг 3: Находим расположение центра и вершины квадрата
Пусть координаты центра квадрата — это точка \( O(0,0) \).
Вершины квадрата расположены symmetrically:
Если представить, что стороны квадрата параллельны осям координат, то вершины будут:
- \( A \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \)
- \( B \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \)
- \( C \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right) \)
- \( D \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right) \)
Центр квадрата — это середина сторон, то есть \( O(0,0) \).
Теперь находим расстояние от центра до любой вершины, например, до \( A \).
Шаг 4: Расстояние от центра до вершины
Используем формулу расстояния между точками:
\[ R = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]
Это упрощается до:
\[ R = \sqrt{2 \times \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{2} \times \frac{a}{2} \]
или
\[ R = \frac{a}{2} \times \sqrt{2} \]
Шаг 5: Подставим значение \( a \)
Дано: \( a = 4\sqrt{2} \)
Тогда:
\[ R = \frac{4\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{2} \]
Упростим:
\[ R = 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} \]
Помним, что \( \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \), поэтому:
\[ R = 2 \times 2 = 4 \]
Ответ:
Радиус окружности, описанной около этого квадрата, равен 4.
Если что-то осталось непонятным или нужно еще объяснить — спрашивайте!
